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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 38. Zuzug der negirten Gebiete.
§ 38. Erweiterung des Beziehungskreises durch Zuzug auch der
negirten Gebiete.

Es wurde schon unter Theorem 37) erwähnt, dass die Anwendung
desselben, oder der Schluss von einer Subsumtion A B auf die B1 A1
(oder umgekehrt) genannt wird die Konversion -- durch Kontraposition --
des die betreffende Prämisse bildenden Subsumtionsurteils. Ebenso leistete
das Theorem 32) in Gestalt des Schlusses von einer Gleichung A = B
auf die A1 = B1 (oder umgekehrt) diese "Konversion durch Kontraposition"
für die umkehrbaren oder reziprokabelen Urteile.*)

Dies verallgemeinernd wollen wir nunmehr aus einer Beziehung irgend
welcher Art zwischen irgend zweien der vier Gebiete A, B, A1, B1 auf
jede damit äquivalente Beziehung zwischen wiederum zweien von diesen
Gebieten schliessen lernen.

Zu dem Ende ziehen wir ausser den sämtlichen in § 34 einge-
führten Beziehungen zwischen den Gebieten A und B selber auch
noch diejenigen in Betracht, welche aus jenen hervorgehen, wenn man
B oder A, oder beide Gebiete durch ihre Negationen B1 resp. A1
ersetzt.

Um zunächst diese zahlreichen Beziehungen als Aussagen syste-
matisch, übersichtlich und mnemonisch zu bezeichnen, lassen wir die
in § 34 den Symbolen a101, a110 und a111 untergelegte Bedeutung oder
gegebene Auslegung fallen und verwenden die Exponenten 01, 10 und
11 in einem neuen (bei a1 hiervon abweichenden) Sinne; wir machen
uns also unabhängig von gewissen in § 34 vorübergehend stipulirten,
zu einem Teil aber inzwischen schon überflüssig gewordenen, ohnehin
antiquirten Bezeichnungen.

Es werde fortan unter a101 verstanden die Aussage a1, wenn
darin A belassen, aber B durch B1 ersetzt wird,

unter a110 die Aussage a1, wenn umgekehrt darin A durch A1 er-
setzt, B belassen wird,

mit a111 werde die Aussage a1 bezeichnet, wenn darin A durch A1
und zugleich auch B durch B1 ersetzt wird.

Analog werde jetzt b01, b10 und b11 erklärt als die Aussage b,
nachdem in dieser bezüglich B durch B1, oder A durch A1, oder B
nebst A durch B1 und A1 ersetzt sind, und finde c01, c10, c11 und so
weiter bis g01, g10 und g11 (mit letzterem zugleich auch a01, a10, und a11)
und dann noch weiter b01, ... bis d11 die entsprechende Erklärung.

*) Die man auch konvertible nennen könnte -- "konvertibel" jedoch in
andrem Sinne, nämlich mittelst einfacher Umkehrung der "conversio simplex".
In Bezug auf die Umkehrung mittelst "Kontraposition" würden alle Urteile als
konvertible zu bezeichnen sein.
9*
§ 38. Zuzug der negirten Gebiete.
§ 38. Erweiterung des Beziehungskreises durch Zuzug auch der
negirten Gebiete.

Es wurde schon unter Theorem 37) erwähnt, dass die Anwendung
desselben, oder der Schluss von einer Subsumtion A ⊆ B auf die B1 ⊆ A1
(oder umgekehrt) genannt wird die Konversion — durch Kontraposition —
des die betreffende Prämisse bildenden Subsumtionsurteils. Ebenso leistete
das Theorem 32) in Gestalt des Schlusses von einer Gleichung A = B
auf die A1 = B1 (oder umgekehrt) diese „Konversion durch Kontraposition“
für die umkehrbaren oder reziprokabelen Urteile.*)

Dies verallgemeinernd wollen wir nunmehr aus einer Beziehung irgend
welcher Art zwischen irgend zweien der vier Gebiete A, B, A1, B1 auf
jede damit äquivalente Beziehung zwischen wiederum zweien von diesen
Gebieten schliessen lernen.

Zu dem Ende ziehen wir ausser den sämtlichen in § 34 einge-
führten Beziehungen zwischen den Gebieten A und B selber auch
noch diejenigen in Betracht, welche aus jenen hervorgehen, wenn man
B oder A, oder beide Gebiete durch ihre Negationen B1 resp. A1
ersetzt.

Um zunächst diese zahlreichen Beziehungen als Aussagen syste-
matisch, übersichtlich und mnemonisch zu bezeichnen, lassen wir die
in § 34 den Symbolen a101, a110 und a111 untergelegte Bedeutung oder
gegebene Auslegung fallen und verwenden die Exponenten 01, 10 und
11 in einem neuen (bei a1 hiervon abweichenden) Sinne; wir machen
uns also unabhängig von gewissen in § 34 vorübergehend stipulirten,
zu einem Teil aber inzwischen schon überflüssig gewordenen, ohnehin
antiquirten Bezeichnungen.

Es werde fortan unter a101 verstanden die Aussage a1, wenn
darin A belassen, aber B durch B1 ersetzt wird,

unter a110 die Aussage a1, wenn umgekehrt darin A durch A1 er-
setzt, B belassen wird,

mit a111 werde die Aussage a1 bezeichnet, wenn darin A durch A1
und zugleich auch B durch B1 ersetzt wird.

Analog werde jetzt b01, b10 und b11 erklärt als die Aussage b,
nachdem in dieser bezüglich B durch B1, oder A durch A1, oder B
nebst A durch B1 und A1 ersetzt sind, und finde c01, c10, c11 und so
weiter bis g01, g10 und g11 (mit letzterem zugleich auch α01, α10, und α11)
und dann noch weiter β01, … bis δ11 die entsprechende Erklärung.

*) Die man auch konvertible nennen könnte — „konvertibel“ jedoch in
andrem Sinne, nämlich mittelst einfacher Umkehrung der „conversio simplex“.
In Bezug auf die Umkehrung mittelst „Kontraposition“ würden alle Urteile als
konvertible zu bezeichnen sein.
9*
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[131/0155] § 38. Zuzug der negirten Gebiete. § 38. Erweiterung des Beziehungskreises durch Zuzug auch der negirten Gebiete. Es wurde schon unter Theorem 37) erwähnt, dass die Anwendung desselben, oder der Schluss von einer Subsumtion A  B auf die B1  A1 (oder umgekehrt) genannt wird die Konversion — durch Kontraposition — des die betreffende Prämisse bildenden Subsumtionsurteils. Ebenso leistete das Theorem 32) in Gestalt des Schlusses von einer Gleichung A = B auf die A1 = B1 (oder umgekehrt) diese „Konversion durch Kontraposition“ für die umkehrbaren oder reziprokabelen Urteile. *) Dies verallgemeinernd wollen wir nunmehr aus einer Beziehung irgend welcher Art zwischen irgend zweien der vier Gebiete A, B, A1, B1 auf jede damit äquivalente Beziehung zwischen wiederum zweien von diesen Gebieten schliessen lernen. Zu dem Ende ziehen wir ausser den sämtlichen in § 34 einge- führten Beziehungen zwischen den Gebieten A und B selber auch noch diejenigen in Betracht, welche aus jenen hervorgehen, wenn man B oder A, oder beide Gebiete durch ihre Negationen B1 resp. A1 ersetzt. Um zunächst diese zahlreichen Beziehungen als Aussagen syste- matisch, übersichtlich und mnemonisch zu bezeichnen, lassen wir die in § 34 den Symbolen a101, a110 und a111 untergelegte Bedeutung oder gegebene Auslegung fallen und verwenden die Exponenten 01, 10 und 11 in einem neuen (bei a1 hiervon abweichenden) Sinne; wir machen uns also unabhängig von gewissen in § 34 vorübergehend stipulirten, zu einem Teil aber inzwischen schon überflüssig gewordenen, ohnehin antiquirten Bezeichnungen. Es werde fortan unter a101 verstanden die Aussage a1, wenn darin A belassen, aber B durch B1 ersetzt wird, unter a110 die Aussage a1, wenn umgekehrt darin A durch A1 er- setzt, B belassen wird, mit a111 werde die Aussage a1 bezeichnet, wenn darin A durch A1 und zugleich auch B durch B1 ersetzt wird. Analog werde jetzt b01, b10 und b11 erklärt als die Aussage b, nachdem in dieser bezüglich B durch B1, oder A durch A1, oder B nebst A durch B1 und A1 ersetzt sind, und finde c01, c10, c11 und so weiter bis g01, g10 und g11 (mit letzterem zugleich auch α01, α10, und α11) und dann noch weiter β01, … bis δ11 die entsprechende Erklärung. *) Die man auch konvertible nennen könnte — „konvertibel“ jedoch in andrem Sinne, nämlich mittelst einfacher Umkehrung der „conversio simplex“. In Bezug auf die Umkehrung mittelst „Kontraposition“ würden alle Urteile als konvertible zu bezeichnen sein. 9*

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 131. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/155>, abgerufen am 21.12.2024.