Anhang 6. Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls. Geometrisch-logisch- kombinatorische Probleme von Jevons und Clifford. (Zu § 12, 19 und 24.)
Hier kommt die Frage zur Beantwortung, wie viel verschiedene und welche Ausdrücke der identische Kalkul mit Gebieten oder Klassen aus einer gegebenen Menge solcher vermittelst seiner drei Spezies überhaupt zu bilden vermag, und ferner im Zusammenhang damit die Frage, wie vielerlei und welche Aussagen über zwei Gebiete a, b, über dreie a, b, c, auch wie vielerlei über viere a, b, c, d, etc., die exakte Logik imstande ist abzugeben, solange sie sich noch auf ihrer ersten Etappe befindet, nämlich nur erst über das Subsumtions- und Gleichheitszeichen (nicht aber über deren Verneinung) verfügt -- eine Frage, die wir für die zweite Etappe erst in § 39 be- antworten werden.
Die Beantwortung jener Fragen wird ermöglicht durch das Studium der "Gruppen", zu welchen die Ausdrücke oder Funktionen des identischen Gebietekalkuls zusammentreten.
Als eine Nutzanwendung der Betrachtungen ergibt sich nebenbei ein neuer Beweis für die Nichtbeweisbarkeit der zweiten Subsumtion des Distri- butionsgesetzes, bei welchem es nicht erforderlich ist, ein extralogisches Sub- strat in's Auge zu fassen (vergl. § 12).
Und endlich wird auf Grund derselben die Unmöglichkeit dargethan, die Gleichung x y z + x1y1z1 = 0 in drei unabhängigen Parametern symme- trisch allgemein zu lösen (vergl. § 24).
Es wird zu sagen sein: ein System von Ausdrücken (des iden- tischen Kalkuls) bilde eine "Gruppe" (in Hinsicht der Operationen dieses Kalkuls), wenn es nicht möglich ist, mittelst der drei identischen Spezies (als da sind Negation und additive sowie multiplikative Ver- knüpfung) aus denselben einen neuen Ausdruck herzuleiten, welcher nicht schon mit einem unter ihnen identisch gleich wäre, welchen m. a. W. das System nicht bereits in sich schlösse.
Nennen wir jene Ausdrücke die "Elemente" der Gruppe, so wird also eine Gruppe ihrem Begriffe gemäss alle diejenigen Ausdrücke, welche aus ihren Elementen mittelst der drei Spezies aufgebaut werden können, bereits als Elemente enthalten müssen.
Anhang 6. Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls. Geometrisch-logisch- kombinatorische Probleme von Jevons und Clifford. (Zu § 12, 19 und 24.)
Hier kommt die Frage zur Beantwortung, wie viel verschiedene und welche Ausdrücke der identische Kalkul mit Gebieten oder Klassen aus einer gegebenen Menge solcher vermittelst seiner drei Spezies überhaupt zu bilden vermag, und ferner im Zusammenhang damit die Frage, wie vielerlei und welche Aussagen über zwei Gebiete a, b, über dreie a, b, c, auch wie vielerlei über viere a, b, c, d, etc., die exakte Logik imstande ist abzugeben, solange sie sich noch auf ihrer ersten Etappe befindet, nämlich nur erst über das Subsumtions- und Gleichheitszeichen (nicht aber über deren Verneinung) verfügt — eine Frage, die wir für die zweite Etappe erst in § 39 be- antworten werden.
Die Beantwortung jener Fragen wird ermöglicht durch das Studium der „Gruppen“, zu welchen die Ausdrücke oder Funktionen des identischen Gebietekalkuls zusammentreten.
Als eine Nutzanwendung der Betrachtungen ergibt sich nebenbei ein neuer Beweis für die Nichtbeweisbarkeit der zweiten Subsumtion des Distri- butionsgesetzes, bei welchem es nicht erforderlich ist, ein extralogisches Sub- strat in's Auge zu fassen (vergl. § 12).
Und endlich wird auf Grund derselben die Unmöglichkeit dargethan, die Gleichung x y z + x1y1z1 = 0 in drei unabhängigen Parametern symme- trisch allgemein zu lösen (vergl. § 24).
Es wird zu sagen sein: ein System von Ausdrücken (des iden- tischen Kalkuls) bilde eine „Gruppe“ (in Hinsicht der Operationen dieses Kalkuls), wenn es nicht möglich ist, mittelst der drei identischen Spezies (als da sind Negation und additive sowie multiplikative Ver- knüpfung) aus denselben einen neuen Ausdruck herzuleiten, welcher nicht schon mit einem unter ihnen identisch gleich wäre, welchen m. a. W. das System nicht bereits in sich schlösse.
Nennen wir jene Ausdrücke die „Elemente“ der Gruppe, so wird also eine Gruppe ihrem Begriffe gemäss alle diejenigen Ausdrücke, welche aus ihren Elementen mittelst der drei Spezies aufgebaut werden können, bereits als Elemente enthalten müssen.
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Anhang 6.
Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls. Geometrisch-logisch-
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Hier kommt die Frage zur Beantwortung, wie viel verschiedene und
welche Ausdrücke der identische Kalkul mit Gebieten oder Klassen aus einer
gegebenen Menge solcher vermittelst seiner drei Spezies überhaupt zu
bilden vermag, und ferner im Zusammenhang damit die Frage, wie vielerlei
und welche Aussagen über zwei Gebiete a, b, über dreie a, b, c, auch wie
vielerlei über viere a, b, c, d, etc., die exakte Logik imstande ist abzugeben,
solange sie sich noch auf ihrer ersten Etappe befindet, nämlich nur erst über
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verfügt — eine Frage, die wir für die zweite Etappe erst in § 39 be-
antworten werden.
Die Beantwortung jener Fragen wird ermöglicht durch das Studium
der „Gruppen“, zu welchen die Ausdrücke oder Funktionen des identischen
Gebietekalkuls zusammentreten.
Als eine Nutzanwendung der Betrachtungen ergibt sich nebenbei ein
neuer Beweis für die Nichtbeweisbarkeit der zweiten Subsumtion des Distri-
butionsgesetzes, bei welchem es nicht erforderlich ist, ein extralogisches Sub-
strat in's Auge zu fassen (vergl. § 12).
Und endlich wird auf Grund derselben die Unmöglichkeit dargethan,
die Gleichung x y z + x1 y1 z1 = 0 in drei unabhängigen Parametern symme-
trisch allgemein zu lösen (vergl. § 24).
Es wird zu sagen sein: ein System von Ausdrücken (des iden-
tischen Kalkuls) bilde eine „Gruppe“ (in Hinsicht der Operationen
dieses Kalkuls), wenn es nicht möglich ist, mittelst der drei identischen
Spezies (als da sind Negation und additive sowie multiplikative Ver-
knüpfung) aus denselben einen neuen Ausdruck herzuleiten, welcher
nicht schon mit einem unter ihnen identisch gleich wäre, welchen
m. a. W. das System nicht bereits in sich schlösse.
Nennen wir jene Ausdrücke die „Elemente“ der Gruppe, so wird
also eine Gruppe ihrem Begriffe gemäss alle diejenigen Ausdrücke,
welche aus ihren Elementen mittelst der drei Spezies aufgebaut werden
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. [647]. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/667>, abgerufen am 21.12.2024.
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