Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Belege.

ist, als eine vollständige Gruppe, als einen eigenen Algorithmus von
der Tragweite 2 (innerhalb U) erkennt.

Belege (überschlagbar).

Als „Beleg 1“ (cf. Anhang 4 unter „Multiplikation“) mag ausser der
Schlussbemerkung des vorigen Absatzes noch angeführt werden, dass die
oben behauptete Vollständigkeit der aus nur einer Gleichung bestehenden
Formelgruppe J₁ hervorgeht durch die Bemerkung, dass
A₂ · C₁ = J₁
ist, wo A₂ charakterisirt ist durch die Prämisse: a : (b : c) = (a : b) : c.
Ebenso ist A₁ · C₂ = J₂, wo C₂ die Prämisse hat: a : b = b : a. Etc.

„Beleg 2“ (cf. ibidem). Die etwa N₁ zu nennende Formel a : a = [Formel 1]
folgt leicht aus A₁, desgleichen also auch die Formel:
M₂) a : a = b : b

Dieselbe Gleichung M₂ ist auch in einem Algorithmus D₂ enthalten,
von welchem das reine Multiplikationsgesetz (a b) c = (a c) b eine Prämisse
bildet. Jene M₂ folgt aber nicht aus dem Algorithmus A₁ · D₂, welcher
= J₂ ist; denn in der That sind für J₂ in Gestalt der Tafeln 11_2,2)⁴ und
12_2,2)⁴ meiner schon citirten Abhandlung (l. c.)⁷ Lösungen angebbar, welche
sogar dem noch umfassenderen Algorithmus C₂ genügen, dagegen die
Formel M₂ augenscheinlich nicht erfüllen. Hier folgt also X (= M₂) aus
A (= A₁) desgl. aus B (= D₂), und dennoch nicht aus A · B (= J₂). Grund
dieses scheinbaren Widerspruchs zu dem Theorem (3_×)' des Anhang 4 ist
der Umstand, dass eben X, = M₂, nicht dem Formelgebiet (U) angehört,
innerhalb dessen das Produkt A B aufgesucht wurde.

„Beleg 3“ (cf. Anhang 4 sub „Addition“). Das Hinausgreifen der
logischen über die identische Summe ist schon an dem Beispiel A₁ + C₁ = O₁
zu sehen, wo sich die 16 + 30 Gleichungen der letztern zu den 150 Glei-
chungen der erstern erweitern. Noch einfacher zeigt es sich an demselben
Beispiele, wenn man auf das Gebiet der „reinen“ Multiplikationsgesetze
innerhalb U, d. i. auf das Formelsystem O₁¹ des Algorithmus O₁ sich be-
schränkt: Die eine Prämisse b (a c) = (b a) c von A₁ mit den vier Glei-
chungen des Vierecks unten links in C₁ fliesst dann zu den 14 Formeln O₁¹
logisch zusammen.

„Beleg 4“ (cf. ibid.). Versteht man unter X das Formelsystem, be-
stehend aus den 150 Gleichungen O₁ und noch irgendwelchen andern Glei-
chungen des Gebietes U, z. B. der Gleichung (c a) : b = [Formel 2] , jedoch ohne
die zwei Gleichungen E₁, so ist — im Gegensatz zu (3₊)' — sowol
A, = A₁ als auch B, = C₁ in X enthalten, dennoch aber A + B, = A + C₁ = O₁
nicht (ganz) in X enthalten.

Schröder, Algebra der Logik. 41