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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Anhang 4.
den ja ausserhalb U liegenden "Prinzipien" zwar aus den Prämissen A
folgen, desgl. aus den Prämissen B, ohne jedoch aus den, den beiden
Prämissensystemen gemeinsamen Elementen oder Gleichungen zu folgen,
welche letztere sogar 0 sein, ganz fehlen können. (Betreffs wirklichen
Vorkommens solchen Falles siehe Anhang 5, "Beleg 2".)

Wenn dagegen, wie vorauszusetzen, X, A, B komplete Algorithmen
desselben Gebietes U sind, so muss, falls X aus A folgt, das Formel-
system der Gruppe X geradezu ein Teil desjenigen von A sein, ebenso,
falls auch X aus B folgt, ein Teil von B, und dann also ein Teil
des dem A und B gemeinsamen Formelkomplexes (welcher mithin
sicher vorhanden ist).

Sonach gelten also in der That die beiden Teile von (3x), einem
Satze, von dem wir sahen, dass durch ihn das identische Produkt
ausreichend definirt werden konnte. Diese Definition hätten wir anstatt
der von uns gewählten unmittelbar intuitiven auch hier zu Grunde
legen können.

Desgleichen gilt hier das Analogon der
Definition (2x): 0 A,
und zwar hat dieses einfach den Sinn, dass mit dem Gebiet der Felder,
in welche die Formeln irgend eines Algorithmus eingetragen sind,
auch jederzeit unbeschriebene Felder verbunden gedacht werden mögen.
"Nichts" oder "leere Felder" bilden die Bedeutung des Nullalgorithmus,
wenn wahr sein soll, dass jeder Algorithmus seine eigenen Formeln
und ausserdem 0 enthält.

Zöge man indess die 18 Identitäten der Formelsorte a, b, c = a, b, c
mit in den Bereich der alsdann 1008 Gleichungen umfassenden Mannig-
faltigkeit U herein, so würden diese 18 den Inhalt des Nullalgorithmus
ausmachen. Seine Bedeutung würde die Aussage sein, dass die For-
meln a (b : c) = a (b : c), etc., allgemein gelten, und würden diese als
konstanter unvermeidlicher Bestandteil sich in jedem Algorithmus mit
vorfinden. Durch sie würde aber offenbar über Geltung oder Nicht-
geltung von noch andern Formeln des Gebietes kein Präjudiz gegeben.

Addition.

Als die "logische Summe" A + B definiren wir denjenigen Formel-
komplex, welcher nicht nur die Gleichungen von A und die von B
sämtlich enthält, sondern auch noch alle diejenigen Gleichungen des
Gebietes U dazu, welche aus diesen, wenn sie gleichzeitig als wahr

Anhang 4.
den ja ausserhalb U liegenden „Prinzipien“ zwar aus den Prämissen A
folgen, desgl. aus den Prämissen B, ohne jedoch aus den, den beiden
Prämissensystemen gemeinsamen Elementen oder Gleichungen zu folgen,
welche letztere sogar 0 sein, ganz fehlen können. (Betreffs wirklichen
Vorkommens solchen Falles siehe Anhang 5, „Beleg 2“.)

Wenn dagegen, wie vorauszusetzen, X, A, B komplete Algorithmen
desselben Gebietes U sind, so muss, falls X aus A folgt, das Formel-
system der Gruppe X geradezu ein Teil desjenigen von A sein, ebenso,
falls auch X aus B folgt, ein Teil von B, und dann also ein Teil
des dem A und B gemeinsamen Formelkomplexes (welcher mithin
sicher vorhanden ist).

Sonach gelten also in der That die beiden Teile von (3×), einem
Satze, von dem wir sahen, dass durch ihn das identische Produkt
ausreichend definirt werden konnte. Diese Definition hätten wir anstatt
der von uns gewählten unmittelbar intuitiven auch hier zu Grunde
legen können.

Desgleichen gilt hier das Analogon der
Definition (2×): 0 ⋹ A,
und zwar hat dieses einfach den Sinn, dass mit dem Gebiet der Felder,
in welche die Formeln irgend eines Algorithmus eingetragen sind,
auch jederzeit unbeschriebene Felder verbunden gedacht werden mögen.
„Nichts“ oder „leere Felder“ bilden die Bedeutung des Nullalgorithmus,
wenn wahr sein soll, dass jeder Algorithmus seine eigenen Formeln
und ausserdem 0 enthält.

Zöge man indess die 18 Identitäten der Formelsorte a, b, c = a, b, c
mit in den Bereich der alsdann 1008 Gleichungen umfassenden Mannig-
faltigkeit U herein, so würden diese 18 den Inhalt des Nullalgorithmus
ausmachen. Seine Bedeutung würde die Aussage sein, dass die For-
meln a (b : c) = a (b : c), etc., allgemein gelten, und würden diese als
konstanter unvermeidlicher Bestandteil sich in jedem Algorithmus mit
vorfinden. Durch sie würde aber offenbar über Geltung oder Nicht-
geltung von noch andern Formeln des Gebietes kein Präjudiz gegeben.

Addition.

Als die „logische Summe“ A + B definiren wir denjenigen Formel-
komplex, welcher nicht nur die Gleichungen von A und die von B
sämtlich enthält, sondern auch noch alle diejenigen Gleichungen des
Gebietes U dazu, welche aus diesen, wenn sie gleichzeitig als wahr

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[626/0646] Anhang 4. den ja ausserhalb U liegenden „Prinzipien“ zwar aus den Prämissen A folgen, desgl. aus den Prämissen B, ohne jedoch aus den, den beiden Prämissensystemen gemeinsamen Elementen oder Gleichungen zu folgen, welche letztere sogar 0 sein, ganz fehlen können. (Betreffs wirklichen Vorkommens solchen Falles siehe Anhang 5, „Beleg 2“.) Wenn dagegen, wie vorauszusetzen, X, A, B komplete Algorithmen desselben Gebietes U sind, so muss, falls X aus A folgt, das Formel- system der Gruppe X geradezu ein Teil desjenigen von A sein, ebenso, falls auch X aus B folgt, ein Teil von B, und dann also ein Teil des dem A und B gemeinsamen Formelkomplexes (welcher mithin sicher vorhanden ist). Sonach gelten also in der That die beiden Teile von (3×), einem Satze, von dem wir sahen, dass durch ihn das identische Produkt ausreichend definirt werden konnte. Diese Definition hätten wir anstatt der von uns gewählten unmittelbar intuitiven auch hier zu Grunde legen können. Desgleichen gilt hier das Analogon der Definition (2×): 0 ⋹ A, und zwar hat dieses einfach den Sinn, dass mit dem Gebiet der Felder, in welche die Formeln irgend eines Algorithmus eingetragen sind, auch jederzeit unbeschriebene Felder verbunden gedacht werden mögen. „Nichts“ oder „leere Felder“ bilden die Bedeutung des Nullalgorithmus, wenn wahr sein soll, dass jeder Algorithmus seine eigenen Formeln und ausserdem 0 enthält. Zöge man indess die 18 Identitäten der Formelsorte a, b, c = a, b, c mit in den Bereich der alsdann 1008 Gleichungen umfassenden Mannig- faltigkeit U herein, so würden diese 18 den Inhalt des Nullalgorithmus ausmachen. Seine Bedeutung würde die Aussage sein, dass die For- meln a (b : c) = a (b : c), etc., allgemein gelten, und würden diese als konstanter unvermeidlicher Bestandteil sich in jedem Algorithmus mit vorfinden. Durch sie würde aber offenbar über Geltung oder Nicht- geltung von noch andern Formeln des Gebietes kein Präjudiz gegeben. Addition. Als die „logische Summe“ A + B definiren wir denjenigen Formel- komplex, welcher nicht nur die Gleichungen von A und die von B sämtlich enthält, sondern auch noch alle diejenigen Gleichungen des Gebietes U dazu, welche aus diesen, wenn sie gleichzeitig als wahr

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 626. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/646>, abgerufen am 21.11.2024.