Anhang 1. Beiläufige Studie über identische Multiplikation und Addition. (Zu § 6. Überschlagbar.)
Das Verständniss der Betrachtungen wird sehr erleichtert, wenn sich der Leser die geringe Mühe nimmt, sich dieselben mittelst Flächengebieten zu veranschaulichen.
Um einzusehen, dass es immer gewisse Gebiete c gibt, welche den Forde- rungen der Def. (5) genügen, nämlich (S. 205) die Eigenschaft haben, dass für alle x, für welche a)
xa und zugleich xb
ax und zugleich bx
ist, auch b)
xc
cx
sein muss, könnte man folgende Überlegung anstellen.
Gesetzt ausser 0 resp. 1 gebe es kein x, für das die Beziehungen a) erfüllt sind. Dann genügt bereits der Wert
c = 0
c = 1
der obigen Forderung, fernerhin also jedes beliebige Gebiet c.
Ist diese Annahme aber nicht erfüllt, so gibt es ausser 0 resp. 1 mindestens ein x -- ein solches heisse x1 -- von solcher Beschaffenheit, dass die Bedingungen a) bezüglich erfüllt sind, d. h. dass wir haben:
x1a, x1b
ax1, bx1.
Alsdann ist auch für alle solchen x, für welche b1)
xx1
x1x
ist, a fortiori die Bedingung a) erfüllt.*)
Wenn nun auch das Umgekehrte gilt, dass nämlich für jedes x, für
*) Es wird nachher x1 = x' als das gemeinsame Anfangsglied zweier von da divergirenden Wertreihen: x', x'', x''', ... und x1, x2, x3, ... erscheinen, bei deren letzterer die Exponenten auch nur als Indices aufgefasst werden sollen. Man hat demnach für dieses erste x die Wahl unter den Bezeichnungen x1 und x.
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Anhang 1. Beiläufige Studie über identische Multiplikation und Addition. (Zu § 6. Überschlagbar.)
Das Verständniss der Betrachtungen wird sehr erleichtert, wenn sich der Leser die geringe Mühe nimmt, sich dieselben mittelst Flächengebieten zu veranschaulichen.
Um einzusehen, dass es immer gewisse Gebiete c gibt, welche den Forde- rungen der Def. (5) genügen, nämlich (S. 205) die Eigenschaft haben, dass für alle x, für welche α)
x ⋹ a und zugleich x ⋹ b
a ⋹ x und zugleich b ⋹ x
ist, auch β)
x ⋹ c
c ⋹ x
sein muss, könnte man folgende Überlegung anstellen.
Gesetzt ausser 0 resp. 1 gebe es kein x, für das die Beziehungen α) erfüllt sind. Dann genügt bereits der Wert
c = 0
c = 1
der obigen Forderung, fernerhin also jedes beliebige Gebiet c.
Ist diese Annahme aber nicht erfüllt, so gibt es ausser 0 resp. 1 mindestens ein x — ein solches heisse x1 — von solcher Beschaffenheit, dass die Bedingungen α) bezüglich erfüllt sind, d. h. dass wir haben:
x1 ⋹ a, x1 ⋹ b
a ⋹ x1, b ⋹ x1.
Alsdann ist auch für alle solchen x, für welche β1)
x ⋹ x1
x1 ⋹ x
ist, a fortiori die Bedingung α) erfüllt.*)
Wenn nun auch das Umgekehrte gilt, dass nämlich für jedes x, für
*) Es wird nachher x1 = x' als das gemeinsame Anfangsglied zweier von da divergirenden Wertreihen: x', x'', x''', … und x1, x2, x3, … erscheinen, bei deren letzterer die Exponenten auch nur als Indices aufgefasst werden sollen. Man hat demnach für dieses erste x die Wahl unter den Bezeichnungen x1 und x.
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Anhang 1.
Beiläufige Studie über identische Multiplikation und Addition.
(Zu § 6. Überschlagbar.)
Das Verständniss der Betrachtungen wird sehr erleichtert, wenn sich
der Leser die geringe Mühe nimmt, sich dieselben mittelst Flächengebieten
zu veranschaulichen.
Um einzusehen, dass es immer gewisse Gebiete c gibt, welche den Forde-
rungen der Def. (5) genügen, nämlich (S. 205) die Eigenschaft haben, dass
für alle x, für welche
α) x ⋹ a und zugleich x ⋹ b a ⋹ x und zugleich b ⋹ x
ist, auch
β) x ⋹ c c ⋹ x
sein muss, könnte man folgende Überlegung anstellen.
Gesetzt ausser 0 resp. 1 gebe es kein x, für das die Beziehungen α)
erfüllt sind. Dann genügt bereits der Wert
c = 0 c = 1
der obigen Forderung, fernerhin also jedes beliebige Gebiet c.
Ist diese Annahme aber nicht erfüllt, so gibt es ausser 0 resp. 1
mindestens ein x — ein solches heisse x1 — von solcher Beschaffenheit,
dass die Bedingungen α) bezüglich erfüllt sind, d. h. dass wir haben:
x1 ⋹ a, x1 ⋹ b a ⋹ x1, b ⋹ x1.
Alsdann ist auch für alle solchen x, für welche
β1) x ⋹ x1 x1 ⋹ x
ist, a fortiori die Bedingung α) erfüllt. *)
Wenn nun auch das Umgekehrte gilt, dass nämlich für jedes x, für
*) Es wird nachher x1 = x' als das gemeinsame Anfangsglied zweier von
da divergirenden Wertreihen: x', x'', x''', … und x1, x2, x3, … erscheinen, bei
deren letzterer die Exponenten auch nur als Indices aufgefasst werden sollen.
Man hat demnach für dieses erste x die Wahl unter den Bezeichnungen x1 und x.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. [595]. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/615>, abgerufen am 03.03.2025.
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