Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

§ 3. Identischer Kalkul mit Gebieten einer Mannigfaltigkeit.

Raumes auch an sich studiren, losgelöst von deren vorhin charakteri-
sirten illustrativen Zwecken, also ohne Rücksicht darauf, dass uns diese
Gebiete Klassen oder Begriffe versinnlichen sollten.

Wir lassen so der eigentlichen Logik eine Hülfsdisziplin vorauf-
gehen oder auch mit ihr parallel einhergehen, deren Sätze jederzeit
durch die Anschauung kontrolirt werden können und welche von rein
mathematischem Charakter ist. In ihr werden die Regeln aufgestellt
und bewiesen für eine eigentümliche Buchstabenrechnung, welche pas-
send zu bezeichnen sein dürfte als

Identischer Kalkul mit Gebieten einer Mannigfaltigkeit.

Als gegeben denken wir uns hier eine Mannigfaltigkeit von Ele-
menten — etwa die Mannigfaltigkeit der Punkte in der Fläche der
Schultafel (oder die der Felder auf einem Bogen karrirten Papiers).

Diese Mannigfaltigkeit halten wir im Felde unsrer Aufmerksam-
keit fest und kümmern uns nicht um die Dinge ausserhalb derselben.
Die Natur dieser Mannigfaltigkeit sowie die Art ihrer Elemente sei
von vornherein in unser Belieben gestellt; die Betrachtungen sollen
allgemeine sein und werden (mit einem gewissen, später zu erwähnen-
den Vorbehalt) Gültigkeit beanspruchen für jede denkbare Mannigfal-
keit von irgendwelchen Elementen. Anstatt der bereits hervorgehobenen
beiden Beispiele könnten wir namentlich auch nehmen: die Mannig-
faltigkeit der Punkte des Raums überhaupt; desgleichen die (bekannt-
lich vierdimensionale) Mannigfaltigkeit aller im Raume denkbaren Ge-
raden; oder auch blos diejenige der Punkte einer bestimmten (sei es
begrenzten, sei es unbegrenzten) geraden Linie; ferner auch die Mannig-
faltigkeit der Zeitpunkte eines bestimmten Zeitraums, einer Epoche,
wo nicht der Zeit überhaupt, und so weiter, u. s. w. Zur unmittel-
baren Veranschaulichung ihrer Teile qualifizirt sich am besten das
schon hervorgehobene Paradigma der Vorderfläche der Schultafel, die
wir ja mit den in sie einzutragenden Figuren auch jeden Augenblick
im Text hier abbilden zu können in der Lage sind. Ich werde aus
didaktischen Gründen — um nicht immer abstrakt (blos von Ele-
menten, von Mannigfaltigkeit, etc.) zu reden — diese spezielle Mannig-
faltigkeit hier in den Vordergrund stellen, sie die „bevorzugte“ Mannig-
faltigkeit nennen.

Irgend eine Zusammenstellung von Elementen der Mannigfaltig-
keit nennen wir ein Gebiet der letzteren. Solches Gebiet kann — in
unserem „bevorzugten“ Falle — aus beliebig vielen getrennten Teilen,
als da sind: isolirte Punkte, Linien und Flächen, bestehen, eine ganz