Mohr, Christian Otto: Beitrag zur Theorie des Fachwerks. T. 1. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover (1874), Sp. 509-526.

Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.

[Spaltenumbruch] indem man nämlich die linke Seite der Gleichungen 3) mit
unter die Summenzeichen bringt und dabei beachtet, daß
die Spannung u in demjenigen überzähligen Konſtruktionstheil,
auf welchen ſich eine der Gleichungen 3) bezieht, jedes Mal
gleich + 1 iſt.

Beſtimmung der Spannungen in den Konſtruktionstheilen eines
belaſteten zuſammengeſetzten Fachwerks.

Die folgende Unterſuchung geht von der Vorausſetzung
aus, daß die zu beſtimmenden Spannungen der Konſtruktions-
theile allein von den gegebenen Belaſtungen der Knoten-
punkte erzeugt werden, daß alſo ein ſpannungloſer Zuſtand
des Fachwerks eintritt, ſobald die Belaſtungen entfernt werden.
Wenn aus jedem der p Konſtruktionstheile ein Stück heraus-
geſchnitten und dieſes durch ſeine Spannung als äußere Kräfte
gegen die beiden Schnittſtellen erſetzt wird, ſo entſtehen m
Gleichgewichtsſyſteme von Kräften, welche in je einem der m
Knotenpunkte ſich ſchneiden. Die Bedingungen des Gleich-
gewichts dieſer m Syſteme können durch 2 · m Gleichungen
ausgedrückt werden. Es iſt unmöglich, ſtatiſche Beziehungen,
welche in jenen 2 m Gleichungen nicht enthalten ſind — etwa
durch Zerlegung des Fachwerks in andere Gleichgewichts-
ſyſteme — aufzuſtellen, weil letztere immer aus einer Anzahl
jener m Syſteme ſich zuſammenſetzen laſſen. Die Bedingun-
gen des Gleichgewichts der ſämmtlichen äußeren Kräfte, alſo
der bekannten Belaſtungen und der unbekannten Auflager-
reaktionen, ſind in jenen 2 · m Gleichungen ebenfalls enthalten,
weil durch Zuſammenlegung ſämmtlicher m Syſteme das
Gleichgewichtsſyſtem der äußeren Kräfte entſteht. Damit die
Ermittelung der Spannungen aus den gegebenen Belaſtungen
eine beſtimmte ſtatiſche Aufgabe ſei, iſt es demnach
nothwendig, daß die Summe aus der Anzahl der Konſtruk-
tionstheile und der Anzahl der unbekannten Größen im Sy-
ſtem der äußeren Kräfte 2 · m betrage. Jedes der n feſten
Auflager ergibt aber für das Gleichgewichtsſyſtem der äußeren
Kräfte zwei Unbekannte, nämlich die Größe und die Rich-
tung der Auflagerreaktion, während bei jedem der o beweg-
lichen Auflager die Richtung der Auflagerreaktion bekannt und
nur die Größe derſelben unbekannt iſt. Von jenen 2 · m
Gleichungen bleiben ſonach (2 m — 2 n — o) übrig zur Be-
ſtimmung der Spannungen einer eben ſo großen Anzahl von
Konſtruktionstheilen. Die vorſtehende Betrachtung beſtätigt
die bekannte Thatſache, daß nur ein einfaches Fachwerk
auf ſtatiſchem Wege ſich berechnen läßt.

Wir bezeichnen nun:
mit S die unbekannten Spannungen in den Konſtruktions-
theilen des zuſammengeſetzten Fachwerks,
mit S diejenigen Spannungen, welche durch die gegebenen
Belaſtungen in dem von den (2 m — 2 n — o) noth-
wendigen Konſtruktionstheilen gebildeten einfachen
[Spaltenumbruch] Fachwerk hervorgerufen werden; dieſe Spannungen laſſen
ſich auf ſtatiſchem Wege vermittelſt graphiſcher Methoden
oder durch Rechnung beſtimmen;
mit u₁, u₂, u₃ .... die bereits in den Gleichungen 3) und 4)
benutzten Zahlengrößen; u₂₍₃₎ bezeichnet alſo z. B. die-
jenige Spannung, welche in dem Konſtruktionstheil (3)
des oben genannten einfachen Fachwerks entſteht, wenn
man in dieſes Fachwerk den überzähligen Konſtruktions-
theil 2 einfügt und mit einer Zugſpannung gleich Eins
anſpannt. Die Zahlen u ſind ebenfalls auf ſtatiſchem
Wege zu beſtimmen.

Man ändert offenbar nichts an dem Gleichgewichtszuſtande
des Fachwerks, wenn man aus jedem der überzähligen
Konſtruktionstheile 1, 2, 3 .... ein Stück herausſchneidet
und dieſes in bekannter Weiſe durch zwei Außenkräfte S₁, S₂,
S₃ .... erſetzt (Fig. 3). Auf das von den nothwendigen
Konſtruktionstheilen gebildete einfache Fachwerk wirken als-

[Abbildung] Fig. 3.

dann außer den Belaſtungen und Auflagerdrücken, welche die
Spannungen S erzeugen, noch die Außenkräfte S₁, S₂, S₃ …,
durch welche die Spannungen u₁ · S₁, u₂ · S₂, u₃ · S₃ ....
hervorgerufen werden. Nach einer bekannten Eigenſchaft des
einfachen Fachwerks iſt die Spannung eines Konſtruktions-
theils gleich der algebraiſchen Summe derjenigen Spannungen,
welche von den einzelnen auf das Fachwerk einwirkenden
Außenkräften in dieſem Theil erzeugt werden. Wenn ſonach
die Spannungen S₁, S₂, S₃ … der überzähligen Kon-
ſtruktionstheile bekannt ſind, ſo ergeben ſich die Spannungen
der nothwendigen Konſtruktionstheile durch die Gleichungen:
5) [Formel 1]
alſo durch Gleichungen von der allgemeinen Form:
6) S = S + u₁ S₁ + u₂ S₂ + u₃ S₃ + ....
Wenn, wie hier vorausgeſetzt wird, die Spannungen inner-
halb der Elaſticitätsgrenzen bleiben, ſo kann man die Län-
genänderung eines Konſtruktionstheils durch die Gleichung:
7) [Formel 2]