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Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400

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Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisen-Constructionen.
[Spaltenumbruch]
daß auf jede der unbelasteten Mittelöffnungen die Beziehung
Anwendung findet, welche durch Fig. 14) und Gleichung 20)
ausgedrückt ist. Man findet nämlich:
[Formel 1]
oder, wenn man die Werthe von U und W einsetzt,
28) [Formel 2]
d. h. die Biegungsmomente über zwei auf einander folgenden
Stützpunkten des unbelasteten Trägertheils verhalten sich zu
einander wie die beiden Theile, in welche der feste Punkt O
die Länge der zwischenliegenden Oeffnung eintheilt. Dieses
Verhältniß ist constant und ganz unabhängig von der Größe
der Biegungsmomente oder der hier in Frage kommenden
Belastungen.

Die graphische Darstellung der Biegungsmomente für
die drei unbelasteten Oeffnungen hat sonach die in Fig. 37)
dargestellte Form, und man erkennt daraus, daß die Fix-
punkte O die Wendepunkte der Biegungscurve
der unbelasteten Oeffnungen sind, sobald nur
links von der unbelasteten Trägerlänge Belastun-
gen angebracht sind.

Ebenso überzeugt man sich, daß die Punkte N, Fig. 32)
jene Bedeutung für die unbelasteten Oeffnungen
haben, wenn nur rechts von denselben Belastun-
gen auf den Träger einwirken.

Da diese Beziehung in manchen Fällen mit Nutzen an-
gewandt werden kann, so ist es von Interesse, die Lage der
Punkte N und O gegen die Nachbarstützen auch durch Rech-
nung zu bestimmen. Zu dem Zweck bezeichnen wir in Fig. 38)
mit
an die Länge Bn Nn
bn die Länge On Bn+1
mn das Verhältniß [Formel 3]
rn das Verhältniß [Formel 4]
sn das Verhältniß [Formel 5]

Der Druck, welchen die Belastungsfläche der nten Oeffnung
auf die n + 1ste Stütze ausübt, ist nach Fig. 38) Blatt 397
[Formel 6] und der Druck der Belastungsfläche der n + 1sten Oeffnung
auf die n + 1ste Stütze
[Formel 7] [Spaltenumbruch]
Da die Stützen in einer Horizontalen liegen, so muß die
Summe jener zwei Auflagerdrücke gleich Null sein (Gl. 27),
folglich
[Formel 8] oder
[Formel 9]

Wirken nur rechts von der n + 2ten Stütze Bela-
stungen auf den Träger, so ist
[Formel 10] und [Formel 11]
daher
29) [Formel 12]
Wirken dagegen nur links von der nten Stütze Belastun-
gen auf den Träger, so ist
[Formel 13] und [Formel 14]
daher
30) [Formel 15]

Sind beispielsweise sämmtliche Oeffnungen gleich groß,
so wird, da M1 und folglich auch r1 = O ist
[Formel 16] u. s. f.
Der Grenzwerth r dieses Kettenbruchs ist nach Gleichung 29)
[Formel 17] oder [Formel 18]

Sind die Oeffnungsweiten zur Mitte des Trägers sym-
metrisch, so sind selbstverständlich die symmetrisch belegenen
Werthe von r und s gleich groß.

Graphische Bestimmung der Zahlenfactoren in den Glei-
chungen für die Biegungsmomente über den Stützpunkten.

Die in Fig. 31--35) gelöste Aufgabe kommt verhält-
nißmäßig selten vor, denn in der Regel ist nicht nur ein
bestimmter Belastungsfall, sondern es sind alle mög-
lichen Belastungsfälle zu berücksichtigen. Ebenso ist --
wenn überhaupt verschiedene Höhen der Stützpunkte in Frage
kommen -- gewöhnlich nicht eine bestimmte Höhenlage gege-
ben, sondern man will den Einfluß der relativen Höhe einer
jeden einzelnen Stütze ermitteln. Zur Vereinfachung der Aufgabe

Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen.
[Spaltenumbruch]
daß auf jede der unbelaſteten Mittelöffnungen die Beziehung
Anwendung findet, welche durch Fig. 14) und Gleichung 20)
ausgedrückt iſt. Man findet nämlich:
[Formel 1]
oder, wenn man die Werthe von U und W einſetzt,
28) [Formel 2]
d. h. die Biegungsmomente über zwei auf einander folgenden
Stützpunkten des unbelaſteten Trägertheils verhalten ſich zu
einander wie die beiden Theile, in welche der feſte Punkt O
die Länge der zwiſchenliegenden Oeffnung eintheilt. Dieſes
Verhältniß iſt conſtant und ganz unabhängig von der Größe
der Biegungsmomente oder der hier in Frage kommenden
Belaſtungen.

Die graphiſche Darſtellung der Biegungsmomente für
die drei unbelaſteten Oeffnungen hat ſonach die in Fig. 37)
dargeſtellte Form, und man erkennt daraus, daß die Fix-
punkte O die Wendepunkte der Biegungscurve
der unbelaſteten Oeffnungen ſind, ſobald nur
links von der unbelaſteten Trägerlänge Belaſtun-
gen angebracht ſind.

Ebenſo überzeugt man ſich, daß die Punkte N, Fig. 32)
jene Bedeutung für die unbelaſteten Oeffnungen
haben, wenn nur rechts von denſelben Belaſtun-
gen auf den Träger einwirken.

Da dieſe Beziehung in manchen Fällen mit Nutzen an-
gewandt werden kann, ſo iſt es von Intereſſe, die Lage der
Punkte N und O gegen die Nachbarſtützen auch durch Rech-
nung zu beſtimmen. Zu dem Zweck bezeichnen wir in Fig. 38)
mit
an die Länge Bn Nn
bn die Länge On Bn+1
mn das Verhältniß [Formel 3]
rn das Verhältniß [Formel 4]
ſn das Verhältniß [Formel 5]

Der Druck, welchen die Belaſtungsfläche der nten Oeffnung
auf die n + 1ſte Stütze ausübt, iſt nach Fig. 38) Blatt 397
[Formel 6] und der Druck der Belaſtungsfläche der n + 1ſten Oeffnung
auf die n + 1ſte Stütze
[Formel 7] [Spaltenumbruch]
Da die Stützen in einer Horizontalen liegen, ſo muß die
Summe jener zwei Auflagerdrücke gleich Null ſein (Gl. 27),
folglich
[Formel 8] oder
[Formel 9]

Wirken nur rechts von der n + 2ten Stütze Bela-
ſtungen auf den Träger, ſo iſt
[Formel 10] und [Formel 11]
daher
29) [Formel 12]
Wirken dagegen nur links von der nten Stütze Belaſtun-
gen auf den Träger, ſo iſt
[Formel 13] und [Formel 14]
daher
30) [Formel 15]

Sind beiſpielsweiſe ſämmtliche Oeffnungen gleich groß,
ſo wird, da M1 und folglich auch r1 = O iſt
[Formel 16] u. ſ. f.
Der Grenzwerth r dieſes Kettenbruchs iſt nach Gleichung 29)
[Formel 17] oder [Formel 18]

Sind die Oeffnungsweiten zur Mitte des Trägers ſym-
metriſch, ſo ſind ſelbſtverſtändlich die ſymmetriſch belegenen
Werthe von r und ſ gleich groß.

Graphiſche Beſtimmung der Zahlenfactoren in den Glei-
chungen für die Biegungsmomente über den Stützpunkten.

Die in Fig. 31—35) gelöſte Aufgabe kommt verhält-
nißmäßig ſelten vor, denn in der Regel iſt nicht nur ein
beſtimmter Belaſtungsfall, ſondern es ſind alle mög-
lichen Belaſtungsfälle zu berückſichtigen. Ebenſo iſt —
wenn überhaupt verſchiedene Höhen der Stützpunkte in Frage
kommen — gewöhnlich nicht eine beſtimmte Höhenlage gege-
ben, ſondern man will den Einfluß der relativen Höhe einer
jeden einzelnen Stütze ermitteln. Zur Vereinfachung der Aufgabe

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[[9]/0020] Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen. daß auf jede der unbelaſteten Mittelöffnungen die Beziehung Anwendung findet, welche durch Fig. 14) und Gleichung 20) ausgedrückt iſt. Man findet nämlich: [FORMEL] oder, wenn man die Werthe von U und W einſetzt, 28) [FORMEL] d. h. die Biegungsmomente über zwei auf einander folgenden Stützpunkten des unbelaſteten Trägertheils verhalten ſich zu einander wie die beiden Theile, in welche der feſte Punkt O die Länge der zwiſchenliegenden Oeffnung eintheilt. Dieſes Verhältniß iſt conſtant und ganz unabhängig von der Größe der Biegungsmomente oder der hier in Frage kommenden Belaſtungen. Die graphiſche Darſtellung der Biegungsmomente für die drei unbelaſteten Oeffnungen hat ſonach die in Fig. 37) dargeſtellte Form, und man erkennt daraus, daß die Fix- punkte O die Wendepunkte der Biegungscurve der unbelaſteten Oeffnungen ſind, ſobald nur links von der unbelaſteten Trägerlänge Belaſtun- gen angebracht ſind. Ebenſo überzeugt man ſich, daß die Punkte N, Fig. 32) jene Bedeutung für die unbelaſteten Oeffnungen haben, wenn nur rechts von denſelben Belaſtun- gen auf den Träger einwirken. Da dieſe Beziehung in manchen Fällen mit Nutzen an- gewandt werden kann, ſo iſt es von Intereſſe, die Lage der Punkte N und O gegen die Nachbarſtützen auch durch Rech- nung zu beſtimmen. Zu dem Zweck bezeichnen wir in Fig. 38) mit an die Länge Bn Nn bn die Länge On Bn+1 mn das Verhältniß [FORMEL] rn das Verhältniß [FORMEL] ſn das Verhältniß [FORMEL] Der Druck, welchen die Belaſtungsfläche der nten Oeffnung auf die n + 1ſte Stütze ausübt, iſt nach Fig. 38) Blatt 397 [FORMEL] und der Druck der Belaſtungsfläche der n + 1ſten Oeffnung auf die n + 1ſte Stütze [FORMEL] Da die Stützen in einer Horizontalen liegen, ſo muß die Summe jener zwei Auflagerdrücke gleich Null ſein (Gl. 27), folglich [FORMEL] oder [FORMEL] Wirken nur rechts von der n + 2ten Stütze Bela- ſtungen auf den Träger, ſo iſt [FORMEL] und [FORMEL] daher 29) [FORMEL] Wirken dagegen nur links von der nten Stütze Belaſtun- gen auf den Träger, ſo iſt [FORMEL] und [FORMEL] daher 30) [FORMEL] Sind beiſpielsweiſe ſämmtliche Oeffnungen gleich groß, ſo wird, da M1 und folglich auch r1 = O iſt [FORMEL] u. ſ. f. Der Grenzwerth r dieſes Kettenbruchs iſt nach Gleichung 29) [FORMEL] oder [FORMEL] Sind die Oeffnungsweiten zur Mitte des Trägers ſym- metriſch, ſo ſind ſelbſtverſtändlich die ſymmetriſch belegenen Werthe von r und ſ gleich groß. Graphiſche Beſtimmung der Zahlenfactoren in den Glei- chungen für die Biegungsmomente über den Stützpunkten. Die in Fig. 31—35) gelöſte Aufgabe kommt verhält- nißmäßig ſelten vor, denn in der Regel iſt nicht nur ein beſtimmter Belaſtungsfall, ſondern es ſind alle mög- lichen Belaſtungsfälle zu berückſichtigen. Ebenſo iſt — wenn überhaupt verſchiedene Höhen der Stützpunkte in Frage kommen — gewöhnlich nicht eine beſtimmte Höhenlage gege- ben, ſondern man will den Einfluß der relativen Höhe einer jeden einzelnen Stütze ermitteln. Zur Vereinfachung der Aufgabe

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Zitationshilfe: Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400, S. [9]. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mohr_eisenkonstruktionen_1868/20>, abgerufen am 03.12.2024.