Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400

Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen.

[Spaltenumbruch]
y_n die Ordinate der n^ten Stütze,
l_n die Weite der n^ten Oeffnung,
p_n die Belaſtung pro Längeneinheit der n^ten Oeffnung,
M_n das Moment [Formel 1] ,
M_n das Biegungsmoment über der n^ten Stütze,
V_n die Belaſtungsfläche [Formel 2] ,
U_n die Belaſtungsfläche [Formel 3] ,
W_n die Belaſtungsfläche [Formel 4] .

Da T conſtant iſt, ſo kann E·T als conſtanter Hori-
zontalzug und die graphiſche Darſtellung von M als Be-
laſtungsfläche der elaſtiſchen Linie angeſehen werden. Wenn
die Belaſtung des Trägers über die Länge jeder einzelnen
Oeffnung gleichmäßig vertheilt iſt, ſo hat die graphiſche Dar-
ſtellung von M z. B. für die n^te Oeffnung die in Fig. 23
Blatt 397 angedeutete bekannte Form. Die Parabelordinaten
oberhalb der Abſciſſenachſe haben das poſitive, diejenigen
unterhalb der Achſe das negative Vorzeichen und die Bela-
ſtungen der Seilcurve haben dem entſprechend die eingezeich-
neten Richtungen. Die Belaſtungsfläche Fig. 23) kann in
die beiden Flächen Fig. 24) der poſitiven und Fig. 25) der
negativen Belaſtungen zerlegt werden; für jede Abſciſſe iſt
die Ordinatenſumme der Fig. 24) und 25) gleich der Ordi-
nate der Fig. 23); die Mittelkraft der in Fig. 24) darge-
ſtellten poſitiven Belaſtungen iſt gleich der Parabelfläche C D E,
deren Scheitelordinate
[Formel 5] und deren Flächeninhalt alſo
21) [Formel 6]
iſt. Die Ordinate des Schwerpunkts der Parabelfläche hal-
birt die Weite der Oeffnung. Die Fläche der negativen Be-
laſtungen G H J K Fig. 25) läßt ſich in die beiden Dreiecke
G K J und G H J zerlegen, deren Schwerpunktsordinaten um
⅓ l_n von den Stützpunkten abſtehen und deren Flächeninhalte
22) [Formel 7]
und
23) [Formel 8]
ſind. Dieſe Zerlegung der Belaſtungsfläche in die Kräfte
U, V und W iſt zuläſſig, weil das aus dieſen Kräften con-
ſtruirte Seilpolygon die elaſtiſche Linie in den Stützpunkten
berührt (vergl. 16) und weil in der folgenden Entwickelung
nur die Richtungen und Ordinaten der elaſtiſchen Linie in
den Stützpunkten in Betracht kommen.

Iſt Fig. 26 Blatt 397 das von den Belaſtungen U_n V_n
und W_n gebildete Seilpolygon, ſo ergiebt ſich mit Bezug auf
[Spaltenumbruch]
die eingeſchriebenen Bezeichnungen als Momentengleichung für
den Punkt A:
24) [Formel 9]

Bildet man ebenſo das Seilpolygon für die n + 1 ſte
Oeffnung (Fig. 27 Blatt 397), ſo lautet die Momentengleichung
für den Punkt C
25) [Formel 10]

Verbindet man dieſe beiden Gleichungen, indem man
tg α daraus entfernt, und ſetzt man alsdann die Werthe von
U, V, W nach den Gleichungen 21) 22) 23) ein, ſo erhält
man
26) [Formel 11]

Dieſelbe Gleichung iſt auf einem andern Wege im
Bd. VI. Seite 328 dieſer Zeitſchrift abgeleitet.

Allgemeine Beziehung zwiſchen den Belaſtungsflächen der
elaſtiſchen Linie zweier Nachbaröffnungen eines continuirlichen
Trägers von conſtautem oder variablem Querſchnitt.

Fig. 28) und 29) Blatt 397 ſeien die elaſtiſchen Linien für
die n^te und n + 1^ſte Oeffnung eines beliebigen continuirlichen
Trägers. E iſt der conſtante Horizontalzug, [Formel 12] die vari-
able Belaſtung der Seilcurve. Die Momentengleichungen für
die Punkte A und C ergeben
[Formel 13] Durch Entfernung von tg α erhält man hieraus
27) [Formel 14]
Wenn man die von [Formel 15] gebildete Belaſtungsfläche in den
Auflagern jeder einzelnen Oeffnung frei unterſtützt, ſo iſt
[Formel 16]