Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

ihm (§. 14) um solche Strömungen, bei denen m einfache algebraische Unstetigkeitspuncte vorhanden sind, bei denen also $2m + 2p - 2$ Kreuzungspuncte auftreten müssen.

§. 12. Ueber die Zusammensetzung der allgemeinsten complexen Function des Ortes aus einzelnen Summanden.

Der Beweisgang des §. 10 setzt uns in den Stand, von der allgemeinsten auf einer Fläche existirenden complexen Function des Ortes uns dadurch eine concretere Vorstellung zu machen, dass wir dieselbe aus einzelnen Summanden von möglichst einfacher Eigenschaft additiv zusammensetzen.

Betrachten wir zuvörderst überall endliche Functionen.

Es seien $u_1, u_2, \cdots u_{\mu}$ überall endliche Potentiale. Dieselben mögen linear abhängig heissen, wenn zwischen ihnen eine Relation
$a_1 u_1 + a_2 u_2 + \cdots a_{\mu}u_{\mu} = A$
mit constanten Coëfficienten besteht. Eine solche Beziehung liefert entsprechende Gleichungen für die $2p$ Serien von $\mu$ Periodicitätsmoduln, welche $u_1, u_2, \cdots, u_{\mu}$ an den $2p$ Querschnitten der Fläche besitzen. Umgekehrt würde, nach dem in §. 10 bewiesenen Satze, aus solchen Gleichungen zwischen den Periodicitätsmoduln die lineare Relation zwischen den u selbst hervorgehen. Es ergiebt sich so, dass man auf mannigfachste Weise $2p$ linear unabhängige überall endliche Potentiale
$u_1, u_2, \cdots, u_{2p}$
finden kann, dass sich aber aus ihnen jedes andere überall endliche Potential linear zusammensetzt:
$u = a_1 u_1 + a_2 u_2 + \cdots + a_{2p}u_{2p} + A.$

In der That kann man $u_1, u_2, \cdots u_{2p}$ z. B. derart wählen, dass jedes nur an einem der $2p$ Querschnitte einen nicht verschwindenden Periodicitätsmodul besitzt (wobei natürlich jedem Querschnitte ein und nur ein Potential zugewiesen werden soll). Hernach kann man in $\sum a_i u_i$ die Constanten $a_i$ so bestimmen, dass dieser Ausdruck an sämmtlichen $2p$ Querschnitten dieselben Periodicitätsmoduln aufweist, wie u. Dann ist $u - \sum a_i u_i$ eine Constante, und wir haben also die vorstehende Formel.

Um nun von den Potentialen u zu den überall endlichen Functionen $u + iv$ überzugehen, denke ich mir der Einfachheit