Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

dass auf Grund der Figuren 6-9 das allgemeine Princip verstanden wird.

§. 5. Uebergang zur Kugelfläche, Strömungen auf beliebigen krummen Flächen.

Um die unendlich grossen Werthe von z derselben geometrischen Behandlungsweise zugänglich zu machen, wie die endlichen, bedient man sich in den Lehrbüchern jetzt allgemein der Kugelfläche, welche stereographisch auf die $XY$-Ebene bezogen ist. Man kennt die einfachen geometrischen Beziehungen, welche bei dieser Abbildung auftreten. Man weiss auch zur Genüge, dass das Unendlich-Weite der Ebene sich in einen bestimmten Punct der Kugel, den Projectionspunct, zusammenzieht, so dass es keine symbolische Ausdrucksweise mehr ist, wenn man auf der Kugel von einem Puncte $z = \infty$ spricht. Dagegen scheint es noch immer weniger bekannt zu sein, dass bei dieser Abbildung die Functionen von $x + iy$ eine Bedeutung für die Kugelfläche gewinnen, welche derjenigen, die sie für die Ebene hatten, genau analog ist, dass man also in den Entwickelungen der vorangehenden Paragraphen statt der Ebene die Kugel gebrauchen kann, wobei von einer Sonderstellung des Werthes

Nach dem Vorgänge von C. Neumann, Vorlesungen über Riemann's Theorie der Abel'schen Integrale, Leipzig, 1865. — Die Einführung der Kugelfläche läuft sozusagen der Ersetzung von z durch das Verhältniss $\dfrac{z_1}{z_2}$ zweier Variabler parallel, wodurch, wie man weiss, die Behandlung unendlich grosser Werthe von z auch formal unter die der endlichen Werthe subsumirt wird.

Unter $\xi$, $\eta$, $\zeta$ rechtwinklige Coordinaten verstanden, sei die Gleichung der Kugel $\xi^2 + \eta^2 + (\zeta - \tfrac{1}{2})^2 = \tfrac{1}{4}$. Projectionspunct sei $\xi = 0$, $\eta = 0$, $\zeta = 1$, Projectionsebene ($XY$-Ebene) die gegenüberliegende Tangentialebene (die $\xi\eta$-Ebene). Dann folgt: $\xi = \frac{x}{x^2 + y^2 + 1},\qquad \eta = \frac{y}{x^2 + y^2 + 1},\qquad \zeta = \frac{1}{x^2 + y^2 + 1}.$ Bezeichnet man mit $ds$ das Bogenelement der Ebene, mit $d\sigma$ das entsprechende Bogenelement der Kugel, so kommt: $d\sigma = \frac{ds}{x^2 + y^2 + 1},$
eine Formel, welche für das Folgende insofern besonders wichtig ist, als sie die Abbildung als eine conforme charakterisirt.