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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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hinzufügt. Dieses ausgezeichnete Gebilde ist
(soweit es überhaupt ein bestimmtes 1) ist) da-
durch definirt, dass es, festgedacht, dem Raume
unter den Transformationen der gegebenen
Gruppe nur noch die Transformationen der
Hauptgruppe gestattet.

In diesem Satze beruht die Eigenart der hier zu be-
sprechenden neueren geometrischen Richtungen und ihr
Verhältniss zur elementaren Methode. Sie sind dadurch
eben zu characterisiren, dass sie an Stelle der Hauptgruppe
eine erweiterte Gruppe räumlicher Umformungen der Be-
trachtung zu Grunde legen. Ihr gegenseitiges Verhältniss
ist, sofern sich ihre Gruppen einschliessen, durch einen
entsprechenden Satz bestimmt. Dasselbe gilt von den ver-
schiedenen hier zu betrachtenden Behandlungsweisen mehr-
fach ausgedehnter Mannigfaltigkeiten. Es soll dies nun an
den einzelnen Methoden gezeigt werden, wobei denn die
Sätze, die in diesem und dem vorigen Paragraphen allge-
mein hingestellt wurden, ihre Erläuterung an concreten
Gegenständen finden.

§. 3.
Die projectivische Geometrie.

Jede räumliche Umformung, die nicht gerade der
Hauptgruppe angehört, kann dazu benutzt werden, um
Eigenschaften bekannter Gebilde auf neue Gebilde zu über-
tragen. So verwerthen wir die Geometrie der Ebene für
die Geometrie der Flächen, die sich auf die Ebene ab-
bilden lassen; so schloss man schon lange vor dem Ent-
stehen einer eigentlichen projectivischen Geometrie von den
Eigenschaften einer gegebenen Figur auf Eigenschaften
anderer, die durch Projection aus ihr hervorgingen. Aber
die projectivische Geometrie erwuchs erst, als man sich

1) Man erzeugt ein solches Gebilde beispielsweise, indem man auf
ein beliebiges Anfangselement, das durch keine Transformation der ge-
gebenen Gruppe in sich selbst überzuführen ist, die Transformationen
der Hauptgruppe anwendet.

hinzufügt. Dieses ausgezeichnete Gebilde ist
(soweit es überhaupt ein bestimmtes 1) ist) da-
durch definirt, dass es, festgedacht, dem Raume
unter den Transformationen der gegebenen
Gruppe nur noch die Transformationen der
Hauptgruppe gestattet.

In diesem Satze beruht die Eigenart der hier zu be-
sprechenden neueren geometrischen Richtungen und ihr
Verhältniss zur elementaren Methode. Sie sind dadurch
eben zu characterisiren, dass sie an Stelle der Hauptgruppe
eine erweiterte Gruppe räumlicher Umformungen der Be-
trachtung zu Grunde legen. Ihr gegenseitiges Verhältniss
ist, sofern sich ihre Gruppen einschliessen, durch einen
entsprechenden Satz bestimmt. Dasselbe gilt von den ver-
schiedenen hier zu betrachtenden Behandlungsweisen mehr-
fach ausgedehnter Mannigfaltigkeiten. Es soll dies nun an
den einzelnen Methoden gezeigt werden, wobei denn die
Sätze, die in diesem und dem vorigen Paragraphen allge-
mein hingestellt wurden, ihre Erläuterung an concreten
Gegenständen finden.

§. 3.
Die projectivische Geometrie.

Jede räumliche Umformung, die nicht gerade der
Hauptgruppe angehört, kann dazu benutzt werden, um
Eigenschaften bekannter Gebilde auf neue Gebilde zu über-
tragen. So verwerthen wir die Geometrie der Ebene für
die Geometrie der Flächen, die sich auf die Ebene ab-
bilden lassen; so schloss man schon lange vor dem Ent-
stehen einer eigentlichen projectivischen Geometrie von den
Eigenschaften einer gegebenen Figur auf Eigenschaften
anderer, die durch Projection aus ihr hervorgingen. Aber
die projectivische Geometrie erwuchs erst, als man sich

1) Man erzeugt ein solches Gebilde beispielsweise, indem man auf
ein beliebiges Anfangselement, das durch keine Transformation der ge-
gebenen Gruppe in sich selbst überzuführen ist, die Transformationen
der Hauptgruppe anwendet.
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[10/0018] hinzufügt. Dieses ausgezeichnete Gebilde ist (soweit es überhaupt ein bestimmtes 1) ist) da- durch definirt, dass es, festgedacht, dem Raume unter den Transformationen der gegebenen Gruppe nur noch die Transformationen der Hauptgruppe gestattet. In diesem Satze beruht die Eigenart der hier zu be- sprechenden neueren geometrischen Richtungen und ihr Verhältniss zur elementaren Methode. Sie sind dadurch eben zu characterisiren, dass sie an Stelle der Hauptgruppe eine erweiterte Gruppe räumlicher Umformungen der Be- trachtung zu Grunde legen. Ihr gegenseitiges Verhältniss ist, sofern sich ihre Gruppen einschliessen, durch einen entsprechenden Satz bestimmt. Dasselbe gilt von den ver- schiedenen hier zu betrachtenden Behandlungsweisen mehr- fach ausgedehnter Mannigfaltigkeiten. Es soll dies nun an den einzelnen Methoden gezeigt werden, wobei denn die Sätze, die in diesem und dem vorigen Paragraphen allge- mein hingestellt wurden, ihre Erläuterung an concreten Gegenständen finden. §. 3. Die projectivische Geometrie. Jede räumliche Umformung, die nicht gerade der Hauptgruppe angehört, kann dazu benutzt werden, um Eigenschaften bekannter Gebilde auf neue Gebilde zu über- tragen. So verwerthen wir die Geometrie der Ebene für die Geometrie der Flächen, die sich auf die Ebene ab- bilden lassen; so schloss man schon lange vor dem Ent- stehen einer eigentlichen projectivischen Geometrie von den Eigenschaften einer gegebenen Figur auf Eigenschaften anderer, die durch Projection aus ihr hervorgingen. Aber die projectivische Geometrie erwuchs erst, als man sich 1) Man erzeugt ein solches Gebilde beispielsweise, indem man auf ein beliebiges Anfangselement, das durch keine Transformation der ge- gebenen Gruppe in sich selbst überzuführen ist, die Transformationen der Hauptgruppe anwendet.

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 10. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/18>, abgerufen am 30.12.2024.