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Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900.

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D. Hilbert,
Ordnung des dreidimensionalen Raumes im Maximum wirklich
besitzt 1).

Im Anschluß an dieses rein algebraische Problem möchte ich
eine Frage aufwerfen, die sich, wie mir scheint, mittelst der näm-
lichen Methode der continuirlichen Coefficientenänderung in An-
griff nehmen läßt, und deren Beantwortung für die Topologie der
durch Differentialgleichungen definirten Curvenschaaren von ent-
sprechender Bedeutung ist -- nämlich die Frage nach der Maxi-
malzahl und Lage der Poincareschen Grenzcykeln (cycles limites)
für eine Differentialgleichung erster Ordnung und ersten Grades von
der Form:
[Formel 1] wo X, Y ganze rationale Funktionen n ten Grades in x, y sind,
oder in homogener Schreibweise
[Formel 2] wo X, Y, Z ganze rationale homogene Functionen n ten Grades
von x, y, z bedeuten und diese als Funktionen des Parameters t
zu bestimmen sind.

17. Darstellung definiter Formen durch Quadrate.

Definit heißt eine solche ganze rationale Funktion oder Form
beliebig vieler Veränderlichen mit reellen Coefficienten, die für
keine reellen Werte dieser Veränderlichen negativ ausfällt. Das
System aller definiten Funktionen verhält sich invariant gegen-
über den Operationen der Addition und der Multiplikation; aber
auch der Quotient zweier definiten Funktionen ist -- sofern er
eine ganze Funktion der Veränderlichen wird -- eine definite
Form. Das Quadrat einer jeden beliebigen Form ist offenbar
stets eine definite Form; da aber, wie ich gezeigt habe 2), nicht
jede definite Form durch Addition aus Formenquadraten zusammen-
gesetzt werden kann, so entsteht die Frage -- die ich für den
Fall ternärer Formen in bejahendem Sinne entschieden habe 3) --,
ob nicht jede definite Form als Quotient von Summen von Formen-
quadraten dargestellt werden kann. Zugleich ist es für gewisse

1) Vgl. Rohn, Flächen vierter Ordnung, Preisschriften der Fürstlich Jablo-
nowskischen Gesellschaft, Leipzig 1886.
2) Mathematische Annalen Bd. 32.
3) Acta mathematica Bd. 17.

D. Hilbert,
Ordnung des dreidimensionalen Raumes im Maximum wirklich
besitzt 1).

Im Anschluß an dieses rein algebraische Problem möchte ich
eine Frage aufwerfen, die sich, wie mir scheint, mittelst der näm-
lichen Methode der continuirlichen Coefficientenänderung in An-
griff nehmen läßt, und deren Beantwortung für die Topologie der
durch Differentialgleichungen definirten Curvenschaaren von ent-
sprechender Bedeutung ist — nämlich die Frage nach der Maxi-
malzahl und Lage der Poincaréschen Grenzcykeln (cycles limites)
für eine Differentialgleichung erster Ordnung und ersten Grades von
der Form:
[Formel 1] wo X, Y ganze rationale Funktionen n ten Grades in x, y sind,
oder in homogener Schreibweise
[Formel 2] wo X, Y, Z ganze rationale homogene Functionen n ten Grades
von x, y, z bedeuten und diese als Funktionen des Parameters t
zu bestimmen sind.

17. Darstellung definiter Formen durch Quadrate.

Definit heißt eine solche ganze rationale Funktion oder Form
beliebig vieler Veränderlichen mit reellen Coefficienten, die für
keine reellen Werte dieser Veränderlichen negativ ausfällt. Das
System aller definiten Funktionen verhält sich invariant gegen-
über den Operationen der Addition und der Multiplikation; aber
auch der Quotient zweier definiten Funktionen ist — sofern er
eine ganze Funktion der Veränderlichen wird — eine definite
Form. Das Quadrat einer jeden beliebigen Form ist offenbar
stets eine definite Form; da aber, wie ich gezeigt habe 2), nicht
jede definite Form durch Addition aus Formenquadraten zusammen-
gesetzt werden kann, so entsteht die Frage — die ich für den
Fall ternärer Formen in bejahendem Sinne entschieden habe 3) —,
ob nicht jede definite Form als Quotient von Summen von Formen-
quadraten dargestellt werden kann. Zugleich ist es für gewisse

1) Vgl. Rohn, Flächen vierter Ordnung, Preisschriften der Fürstlich Jablo-
nowskischen Gesellschaft, Leipzig 1886.
2) Mathematische Annalen Bd. 32.
3) Acta mathematica Bd. 17.
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[284/0040] D. Hilbert, Ordnung des dreidimensionalen Raumes im Maximum wirklich besitzt 1). Im Anschluß an dieses rein algebraische Problem möchte ich eine Frage aufwerfen, die sich, wie mir scheint, mittelst der näm- lichen Methode der continuirlichen Coefficientenänderung in An- griff nehmen läßt, und deren Beantwortung für die Topologie der durch Differentialgleichungen definirten Curvenschaaren von ent- sprechender Bedeutung ist — nämlich die Frage nach der Maxi- malzahl und Lage der Poincaréschen Grenzcykeln (cycles limites) für eine Differentialgleichung erster Ordnung und ersten Grades von der Form: [FORMEL] wo X, Y ganze rationale Funktionen n ten Grades in x, y sind, oder in homogener Schreibweise [FORMEL] wo X, Y, Z ganze rationale homogene Functionen n ten Grades von x, y, z bedeuten und diese als Funktionen des Parameters t zu bestimmen sind. 17. Darstellung definiter Formen durch Quadrate. Definit heißt eine solche ganze rationale Funktion oder Form beliebig vieler Veränderlichen mit reellen Coefficienten, die für keine reellen Werte dieser Veränderlichen negativ ausfällt. Das System aller definiten Funktionen verhält sich invariant gegen- über den Operationen der Addition und der Multiplikation; aber auch der Quotient zweier definiten Funktionen ist — sofern er eine ganze Funktion der Veränderlichen wird — eine definite Form. Das Quadrat einer jeden beliebigen Form ist offenbar stets eine definite Form; da aber, wie ich gezeigt habe 2), nicht jede definite Form durch Addition aus Formenquadraten zusammen- gesetzt werden kann, so entsteht die Frage — die ich für den Fall ternärer Formen in bejahendem Sinne entschieden habe 3) —, ob nicht jede definite Form als Quotient von Summen von Formen- quadraten dargestellt werden kann. Zugleich ist es für gewisse 1) Vgl. Rohn, Flächen vierter Ordnung, Preisschriften der Fürstlich Jablo- nowskischen Gesellschaft, Leipzig 1886. 2) Mathematische Annalen Bd. 32. 3) Acta mathematica Bd. 17.

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Zitationshilfe: Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900, S. 284. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/hilbert_mathematische_1900/40>, abgerufen am 03.12.2024.