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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Wenn man die drei Gleichungen (4b.) addirt, so erhält man:
,
vorausgesetzt, dass nicht r = 0 und dabei die Werthe von , ,
und Ps unendlich werden. Mit Ausnahme des Punktes a, b, g ist also
dann die Diffentialgleichung (3b.) mittelst des in Gleichung (4.) angenommenen
Werthes von Ph durch den ganzen unendlichen Raum erfüllt.

Indem wir in Gleichung (4.) g entweder gleich Null oder gleich -- 1/2p
machen, erhalten wir zwei verschiedene Formen des particularen Integrals.

1) Wenn g = -- 1/2p, wird
(4c.) ,
und erhält für r = 0 den endlichen Werth Ak. Auch die Differentialquotien-
ten bleiben endlich, es wird nämlich für r = 0
,
wie man leicht sieht, wenn man cos kr und sin kr nach Potenzen der ver-
schwindenden Grösse r entwickelt. Daraus ergiebt sich für r = 0
.

Die Function ist also ein solches particulares Integral der Glei-
chung (3b.), welches im ganzen Raume und auch im Punkte a, b g gültig ist.

2) Wenn wir g = 0 setzen, wird
(4d.)
und für r = 0 unendlich gross, ebenso wie seine Differentialquotienten. Die
Gleichung (3b.) wird also im ganzen Raume erfüllt, mit Ausnahme des Punk-
tes a, b, g.

Daraus ergiebt sich ferner leicht, dass wenn wir setzen:
(4e.) ,
wo bei den einzelnen Gliedern der Summe die Werthe von a, b, g und A
verschieden sind, die Gleichung (3b.) erfüllt ist im ganzen Raume, ohne Aus-
nahme der Punkte a, b, g.


Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Wenn man die drei Gleichungen (4b.) addirt, so erhält man:
,
vorausgesetzt, daſs nicht r = 0 und dabei die Werthe von , ,
und Ψ unendlich werden. Mit Ausnahme des Punktes α, β, γ ist also
dann die Diffentialgleichung (3b.) mittelst des in Gleichung (4.) angenommenen
Werthes von Φ durch den ganzen unendlichen Raum erfüllt.

Indem wir in Gleichung (4.) g entweder gleich Null oder gleich — ½π
machen, erhalten wir zwei verschiedene Formen des particularen Integrals.

1) Wenn g = — ½π, wird
(4c.) ,
und erhält für r = 0 den endlichen Werth Ak. Auch die Differentialquotien-
ten bleiben endlich, es wird nämlich für r = 0
,
wie man leicht sieht, wenn man cos kr und sin kr nach Potenzen der ver-
schwindenden Gröſse r entwickelt. Daraus ergiebt sich für r = 0
.

Die Function ist also ein solches particulares Integral der Glei-
chung (3b.), welches im ganzen Raume und auch im Punkte α, β γ gültig ist.

2) Wenn wir g = 0 setzen, wird
(4d.)
und für r = 0 unendlich groſs, ebenso wie seine Differentialquotienten. Die
Gleichung (3b.) wird also im ganzen Raume erfüllt, mit Ausnahme des Punk-
tes α, β, γ.

Daraus ergiebt sich ferner leicht, daſs wenn wir setzen:
(4e.) ,
wo bei den einzelnen Gliedern der Summe die Werthe von α, β, γ und A
verschieden sind, die Gleichung (3b.) erfüllt ist im ganzen Raume, ohne Aus-
nahme der Punkte α, β, γ.


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[16/0026] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. Wenn man die drei Gleichungen (4b.) addirt, so erhält man: [FORMEL], vorausgesetzt, daſs nicht r = 0 und dabei die Werthe von [FORMEL], [FORMEL], [FORMEL] und Ψ unendlich werden. Mit Ausnahme des Punktes α, β, γ ist also dann die Diffentialgleichung (3b.) mittelst des in Gleichung (4.) angenommenen Werthes von Φ durch den ganzen unendlichen Raum erfüllt. Indem wir in Gleichung (4.) g entweder gleich Null oder gleich — ½π machen, erhalten wir zwei verschiedene Formen des particularen Integrals. 1) Wenn g = — ½π, wird (4c.) [FORMEL], und erhält für r = 0 den endlichen Werth Ak. Auch die Differentialquotien- ten bleiben endlich, es wird nämlich für r = 0 [FORMEL], wie man leicht sieht, wenn man cos kr und sin kr nach Potenzen der ver- schwindenden Gröſse r entwickelt. Daraus ergiebt sich für r = 0 [FORMEL]. Die Function [FORMEL] ist also ein solches particulares Integral der Glei- chung (3b.), welches im ganzen Raume und auch im Punkte α, β γ gültig ist. 2) Wenn wir g = 0 setzen, wird (4d.) [FORMEL] und für r = 0 unendlich groſs, ebenso wie seine Differentialquotienten. Die Gleichung (3b.) wird also im ganzen Raume erfüllt, mit Ausnahme des Punk- tes α, β, γ. Daraus ergiebt sich ferner leicht, daſs wenn wir setzen: (4e.) [FORMEL], wo bei den einzelnen Gliedern der Summe die Werthe von α, β, γ und A verschieden sind, die Gleichung (3b.) erfüllt ist im ganzen Raume, ohne Aus- nahme der Punkte α, β, γ.

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 16. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/26>, abgerufen am 30.09.2020.