Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

fläche hergestellt sein, wenn in allen Punkten derselben
$\Psi_\prime = \Psi_{\prime\prime}$ und $\frac{d\Psi_\prime}{dn_\prime} = \frac{d\Psi_{\prime\prime}}{dn_\prime}$ oder $-\frac{d\Psi_{\prime\prime}}{dn_{\prime\prime}}$.

§. 5.

Wir müssen noch die Grenzbedingungen aufstellen für solche unendlich
entfernt gedachte Oberflächen, durch welche Schallwellen in den unendlichen
Raum hinauslaufen, und jenseits welcher es keine Erregungspunkte mehr giebt.
Wenn von einem einzelnen Punkte aus in der vorher unbewegten Luft eine
Erschütterung ausgeht, so hat das Geschwindigkeitspotential bekanntlich die
Form $\frac{1}{r}F_{(r-at)}$, wo F eine willkührliche Function, a die Schallgeschwindig-
keit, r die Entfernung vom Erregungspunkte α, β, γ bezeichnet. Soll F
einer einfach periodischen Bewegung von n Perioden in der Secunde ent-
sprechen, so müssen wir ihm die Form geben $\frac{1}{r}\cos[kr - 2\pi nt + c]$, wo
2πn = ak, wie in (3^a.) festgesetzt ist. Haben wir nun eine beliebige Anzahl
Schall erregender Punkte in endlicher Entfernung vom Anfangspunkte der
Coordinaten, so daſs das Geschwindigkeitspotential Ψ von der Form wird:
(8.) $\Psi = \sum \left\{A_\mathfrak{a}\frac{\cos[kr_\mathfrak{a} - 2\pi nt + g_\mathfrak{a}]}{r_\mathfrak{a}}\right\}$
wo r_a die Entfernung vom Punkte a, A_a und g_a Constanten bezeichnen, die
für die verschiedenen Punkte verschieden sind, und setzen wir die Coor-
dinaten x, y, z des Punktes, in dem die Schallbewegung bestimmt werden
soll, gleich
ϱcos ω, ϱ sin ω cos ϑ, ϱ sin ω sin ϑ,
für den Punkt a aber gleich
α_a, β_a, γ_a,
so ist
$r = \sqrt{\rho^2-2\rho(\alpha\cos\omega + \beta\sin\omega\cos\theta + \gamma\sin\omega\sin\theta) + \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}$,
und für unendlich groſse Werthe von ϱ wird
$r = \rho - \alpha\cos\omega - \beta\sin\omega\sin\theta - \gamma\sin\omega\sin\delta$,
indem wir die weiteren Glieder vernachlässigen, welche ϱ im Nenner ent-
halten und deshalb unendlich klein werden. Danach wird nun der Werth
von Ψ, wenn wir nur die Glieder von der Ordnung $\frac{1}{\rho}$ beibehalten,