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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

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Senkrechter Wurf einer Kugel.

Setzen wir in die Gleichungen zwischen t und v für v die grösste Geschwindigkeit
V, so wird die Zeit t unendlich gross, und eben so, wenn wir in die Gleichung zwischen
v und s für v die grösste Geschwindigkeit V setzen, so wird auch der Raum, durch wel-
chen der Körper fallen muss, bis er die Geschwindigkeit V erlangen kann, unendlich
gross. Hieraus sehen wir, dass die frei fallenden Körper sich der berechneten grössten
Geschwindigkeit nur nähern, aber dieselbe nie erreichen können.

§. 348.

Wir wollen nun den 2ten Fall untersuchen, wenn ein Körper mit einer ge-
gebenen Geschwindigkeit c lothrecht in die Höhe geworfen z. B.
eine Kanonenkugel lothrecht in die Höhe geschossen wird.

In diesem Falle wirkt sowohl das Gewicht des Körpers (p -- w) 4/3 p .·r3, als auch
der Widerstand der Luft m . w .·p .·r2 · [Formel 1] seiner Bewegung entgegen. Nach der unten
beigefügten höhern Rechnung *) erhalten wir die Zeit, in welcher ein Körper, der mit
der Geschwindigkeit c senkrecht in die Höhe geworfen wird, in seiner Bahn die Ge-
schwindigkeit v erreicht t= [Formel 18] , und den bis da-
hin beschriebenen Raum s = [Formel 19] , nat . log [Formel 20] . Setzen wir in der zwei-
ten Gleichung die Geschwindigkeit v = 0, so erhalten wir die grösste Höhe, auf
welche der Körper steigen kann S = [Formel 21] · nat . log [Formel 22] , und die

*) Für diesen Fall haben wir -- d v = 2 g · d t [Formel 2] oder wenn wir V2
statt der Grösse [Formel 3] 4 g · r schreiben, so erhalten wir
-- d v = 2 g . d t [Formel 4] ; daraus folgt 2 g . d t [Formel 5] . Wenn wir zur
leichtern Integrazion die Grösse [Formel 6] = tang ph setzen, so ist [Formel 7] und
V2 + v2 = V2 (1 + tang2 ph = [Formel 8] . Werden diese Werthe in die obige Gleichung substituirt, so
ist 2 g . d t [Formel 9] = -- V. d ph . Das Integral dieser Gleichung ist offenbar
2 g . t [Formel 10] = Konst. -- V. ph. Zur Bestimmung der Konst, wollen wir annehmen, dass der
Körper mit der Geschwindigkeit c in die Höhe geworfen werde, demnach [Formel 11] = tang a setzen, so
ist 2 g . t [Formel 12] = V (a -- ph) oder nach der gewöhnlichen Bezeichnungsart
t = [Formel 13] .
Multipliziren wir die Gleichung 2 g . d t [Formel 14] beiderseits mit v und setzen
d s statt v . d t, so erhalten wir 2 g . d s [Formel 15] . Das Integral dieser Glei-
chung gibt s = [Formel 16] · nat . log [Formel 17] .
Senkrechter Wurf einer Kugel.

Setzen wir in die Gleichungen zwischen t und v für v die grösste Geschwindigkeit
V, so wird die Zeit t unendlich gross, und eben so, wenn wir in die Gleichung zwischen
v und s für v die grösste Geschwindigkeit V setzen, so wird auch der Raum, durch wel-
chen der Körper fallen muss, bis er die Geschwindigkeit V erlangen kann, unendlich
gross. Hieraus sehen wir, dass die frei fallenden Körper sich der berechneten grössten
Geschwindigkeit nur nähern, aber dieselbe nie erreichen können.

§. 348.

Wir wollen nun den 2ten Fall untersuchen, wenn ein Körper mit einer ge-
gebenen Geschwindigkeit c lothrecht in die Höhe geworfen z. B.
eine Kanonenkugel lothrecht in die Höhe geschossen wird.

In diesem Falle wirkt sowohl das Gewicht des Körpers (p — w) 4/3 π .·r3, als auch
der Widerstand der Luft μ . w .·π .·r2 · [Formel 1] seiner Bewegung entgegen. Nach der unten
beigefügten höhern Rechnung *) erhalten wir die Zeit, in welcher ein Körper, der mit
der Geschwindigkeit c senkrecht in die Höhe geworfen wird, in seiner Bahn die Ge-
schwindigkeit v erreicht t= [Formel 18] , und den bis da-
hin beschriebenen Raum s = [Formel 19] , nat . log [Formel 20] . Setzen wir in der zwei-
ten Gleichung die Geschwindigkeit v = 0, so erhalten wir die grösste Höhe, auf
welche der Körper steigen kann S = [Formel 21] · nat . log [Formel 22] , und die

*) Für diesen Fall haben wir — d v = 2 g · d t [Formel 2] oder wenn wir V2
statt der Grösse [Formel 3] 4 g · r schreiben, so erhalten wir
— d v = 2 g . d t [Formel 4] ; daraus folgt 2 g . d t [Formel 5] . Wenn wir zur
leichtern Integrazion die Grösse [Formel 6] = tang φ setzen, so ist [Formel 7] und
V2 + v2 = V2 (1 + tang2 φ = [Formel 8] . Werden diese Werthe in die obige Gleichung substituirt, so
ist 2 g . d t [Formel 9] = — V. d φ . Das Integral dieser Gleichung ist offenbar
2 g . t [Formel 10] = Konst. — V. φ. Zur Bestimmung der Konst, wollen wir annehmen, dass der
Körper mit der Geschwindigkeit c in die Höhe geworfen werde, demnach [Formel 11] = tang α setzen, so
ist 2 g . t [Formel 12] = V (α — φ) oder nach der gewöhnlichen Bezeichnungsart
t = [Formel 13] .
Multipliziren wir die Gleichung 2 g . d t [Formel 14] beiderseits mit v und setzen
d s statt v . d t, so erhalten wir 2 g . d s [Formel 15] . Das Integral dieser Glei-
chung gibt s = [Formel 16] · nat . log [Formel 17] .
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[485/0503] Senkrechter Wurf einer Kugel. Setzen wir in die Gleichungen zwischen t und v für v die grösste Geschwindigkeit V, so wird die Zeit t unendlich gross, und eben so, wenn wir in die Gleichung zwischen v und s für v die grösste Geschwindigkeit V setzen, so wird auch der Raum, durch wel- chen der Körper fallen muss, bis er die Geschwindigkeit V erlangen kann, unendlich gross. Hieraus sehen wir, dass die frei fallenden Körper sich der berechneten grössten Geschwindigkeit nur nähern, aber dieselbe nie erreichen können. §. 348. Wir wollen nun den 2ten Fall untersuchen, wenn ein Körper mit einer ge- gebenen Geschwindigkeit c lothrecht in die Höhe geworfen z. B. eine Kanonenkugel lothrecht in die Höhe geschossen wird. In diesem Falle wirkt sowohl das Gewicht des Körpers (p — w) 4/3 π .·r3, als auch der Widerstand der Luft μ . w .·π .·r2 · [FORMEL] seiner Bewegung entgegen. Nach der unten beigefügten höhern Rechnung *) erhalten wir die Zeit, in welcher ein Körper, der mit der Geschwindigkeit c senkrecht in die Höhe geworfen wird, in seiner Bahn die Ge- schwindigkeit v erreicht t=[FORMEL], und den bis da- hin beschriebenen Raum s = [FORMEL], nat . log [FORMEL]. Setzen wir in der zwei- ten Gleichung die Geschwindigkeit v = 0, so erhalten wir die grösste Höhe, auf welche der Körper steigen kann S = [FORMEL] · nat . log [FORMEL], und die *) Für diesen Fall haben wir — d v = 2 g · d t [FORMEL] oder wenn wir V2 statt der Grösse [FORMEL] 4 g · r schreiben, so erhalten wir — d v = 2 g . d t [FORMEL]; daraus folgt 2 g . d t [FORMEL]. Wenn wir zur leichtern Integrazion die Grösse [FORMEL] = tang φ setzen, so ist [FORMEL] und V2 + v2 = V2 (1 + tang2 φ = [FORMEL]. Werden diese Werthe in die obige Gleichung substituirt, so ist 2 g . d t[FORMEL] = — V. d φ . Das Integral dieser Gleichung ist offenbar 2 g . t [FORMEL] = Konst. — V. φ. Zur Bestimmung der Konst, wollen wir annehmen, dass der Körper mit der Geschwindigkeit c in die Höhe geworfen werde, demnach [FORMEL] = tang α setzen, so ist 2 g . t [FORMEL] = V (α — φ) oder nach der gewöhnlichen Bezeichnungsart t = [FORMEL]. Multipliziren wir die Gleichung 2 g . d t [FORMEL] beiderseits mit v und setzen d s statt v . d t, so erhalten wir 2 g . d s [FORMEL]. Das Integral dieser Glei- chung gibt s = [FORMEL] · nat . log [FORMEL].

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 485. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/503>, abgerufen am 23.02.2025.