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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

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Berechnung dieses Rades.
vermehrt oder vermindert werden könne. Setzen wir die Höhe des Wasserstandes imFig.
7.
Tab.
64.
Schussgerinne über den Punkt D, wo das Wasser in den Theilriss auffällt, D K = H, so
ist die Geschwindigkeit des nach der Richtung der Setzschaufeln einfallenden Wasser-
strahles [Formel 1] Aus dieser Geschwindigkeit entsteht ein Stoss auf den Punkt D
nach der Richtung der Setzschaufeln, welcher nach §. 257 [Formel 2] seyn würde,
wenn die Kropfschaufeln nicht ausweichen könnten; weil aber diese mit der Geschwin-
digkeit v nach der Richtung der Peripherie des Rades fortgehen, so müssen wir den
Stoss des einfallenden Wassers in [Formel 3] und in [Formel 4] zerlegen.
Mit der ersten Kraft wird das Rad nach der Richtung des Theilrisses und zwar nach
§. 259 mit der Kraft 56,4 M [Formel 5] getrieben. Der zweite Theil wirkt gegen die
Achse des Rades und wird von derselben aufgehoben. Wird nun die erstere Kraft mit
der Geschwindigkeit v des Rades multiplizirt, so haben wir das von der Geschwindig-
keit des einfallenden Wassers bewirkte Bewegungsmoment [Formel 6] v.
Für den Fall des Maximum ist v = 1/2 C . Cos m, folglich die grösste Höhe, welche der
Wassersäule zugesetzt wird, [Formel 7] . Hierzu kommt noch
die Höhe des wasserhaltenden Bogens C E = R . Sin m, folglich ist die Höhe der wirk-
samen Wassersäule für die obere Hälfte des Rades [Formel 8] .

Es sey m n die horizontale Oberfläche des Wassers bei dem Anfange des Ausflusses
und der Winkel, den diese Oberfläche mit dem Theilrisse macht = l = P C O, so ist die
Höhe des wasserhaltenden Bogens C O = R . Cos l. Da die Zellen bei der horizontalen
Lage der Setzschaufeln ihr Wasser gänzlich verloren haben, so ist die Höhe C S = R . Cos m;
folglich ist die mittlere Höhe des wasserhaltenden Bogens in der untern Hälfte des Rades
= 1/2 R (Cos l + Cos m). Die Winkel l und m müssen noch wegen der Fliehkraft um die
Winkel W und W' vermehrt werden. Für den ersten haben wir
Sin [Formel 9] und für den zweiten Sin [Formel 10] .
Demnach erhalten wir die mittlere Höhe des wasserhaltenden Bogens an
der untern Hälfte des Rades [Formel 11] .

Die Substituzion dieser beiden Höhen gibt uns das gesammte Bewegungsmo-
ment [Formel 12] und
für den Fall des Maximum ist dieses Moment
[Formel 13] .

§. 336.

Wir wollen nun diese neue Anordnung in einem Beispiele mit einem
oberschlächtigen Rade nach unserer frühern Theorie vergleichen,
und hierbei die Höhe der Radkränze, die Entfernung und Anzahl Zellen, wie auch die

Gerstner's Mechanik. Band II. 59

Berechnung dieses Rades.
vermehrt oder vermindert werden könne. Setzen wir die Höhe des Wasserstandes imFig.
7.
Tab.
64.
Schussgerinne über den Punkt D, wo das Wasser in den Theilriss auffällt, D K = H, so
ist die Geschwindigkeit des nach der Richtung der Setzschaufeln einfallenden Wasser-
strahles [Formel 1] Aus dieser Geschwindigkeit entsteht ein Stoss auf den Punkt D
nach der Richtung der Setzschaufeln, welcher nach §. 257 [Formel 2] seyn würde,
wenn die Kropfschaufeln nicht ausweichen könnten; weil aber diese mit der Geschwin-
digkeit v nach der Richtung der Peripherie des Rades fortgehen, so müssen wir den
Stoss des einfallenden Wassers in [Formel 3] und in [Formel 4] zerlegen.
Mit der ersten Kraft wird das Rad nach der Richtung des Theilrisses und zwar nach
§. 259 mit der Kraft 56,4 M [Formel 5] getrieben. Der zweite Theil wirkt gegen die
Achse des Rades und wird von derselben aufgehoben. Wird nun die erstere Kraft mit
der Geschwindigkeit v des Rades multiplizirt, so haben wir das von der Geschwindig-
keit des einfallenden Wassers bewirkte Bewegungsmoment [Formel 6] v.
Für den Fall des Maximum ist v = ½ C . Cos μ, folglich die grösste Höhe, welche der
Wassersäule zugesetzt wird, [Formel 7] . Hierzu kommt noch
die Höhe des wasserhaltenden Bogens C E = R . Sin μ, folglich ist die Höhe der wirk-
samen Wassersäule für die obere Hälfte des Rades [Formel 8] .

Es sey m n die horizontale Oberfläche des Wassers bei dem Anfange des Ausflusses
und der Winkel, den diese Oberfläche mit dem Theilrisse macht = λ = P C O, so ist die
Höhe des wasserhaltenden Bogens C O = R . Cos λ. Da die Zellen bei der horizontalen
Lage der Setzschaufeln ihr Wasser gänzlich verloren haben, so ist die Höhe C S = R . Cos μ;
folglich ist die mittlere Höhe des wasserhaltenden Bogens in der untern Hälfte des Rades
= ½ R (Cos λ + Cos μ). Die Winkel λ und μ müssen noch wegen der Fliehkraft um die
Winkel W und W' vermehrt werden. Für den ersten haben wir
Sin [Formel 9] und für den zweiten Sin [Formel 10] .
Demnach erhalten wir die mittlere Höhe des wasserhaltenden Bogens an
der untern Hälfte des Rades [Formel 11] .

Die Substituzion dieser beiden Höhen gibt uns das gesammte Bewegungsmo-
ment [Formel 12] und
für den Fall des Maximum ist dieses Moment
[Formel 13] .

§. 336.

Wir wollen nun diese neue Anordnung in einem Beispiele mit einem
oberschlächtigen Rade nach unserer frühern Theorie vergleichen,
und hierbei die Höhe der Radkränze, die Entfernung und Anzahl Zellen, wie auch die

Gerstner’s Mechanik. Band II. 59
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[465/0483] Berechnung dieses Rades. vermehrt oder vermindert werden könne. Setzen wir die Höhe des Wasserstandes im Schussgerinne über den Punkt D, wo das Wasser in den Theilriss auffällt, D K = H, so ist die Geschwindigkeit des nach der Richtung der Setzschaufeln einfallenden Wasser- strahles [FORMEL] Aus dieser Geschwindigkeit entsteht ein Stoss auf den Punkt D nach der Richtung der Setzschaufeln, welcher nach §. 257 [FORMEL] seyn würde, wenn die Kropfschaufeln nicht ausweichen könnten; weil aber diese mit der Geschwin- digkeit v nach der Richtung der Peripherie des Rades fortgehen, so müssen wir den Stoss des einfallenden Wassers in [FORMEL] und in [FORMEL] zerlegen. Mit der ersten Kraft wird das Rad nach der Richtung des Theilrisses und zwar nach §. 259 mit der Kraft 56,4 M [FORMEL] getrieben. Der zweite Theil wirkt gegen die Achse des Rades und wird von derselben aufgehoben. Wird nun die erstere Kraft mit der Geschwindigkeit v des Rades multiplizirt, so haben wir das von der Geschwindig- keit des einfallenden Wassers bewirkte Bewegungsmoment [FORMEL] v. Für den Fall des Maximum ist v = ½ C . Cos μ, folglich die grösste Höhe, welche der Wassersäule zugesetzt wird, [FORMEL]. Hierzu kommt noch die Höhe des wasserhaltenden Bogens C E = R . Sin μ, folglich ist die Höhe der wirk- samen Wassersäule für die obere Hälfte des Rades [FORMEL]. Fig. 7. Tab. 64. Es sey m n die horizontale Oberfläche des Wassers bei dem Anfange des Ausflusses und der Winkel, den diese Oberfläche mit dem Theilrisse macht = λ = P C O, so ist die Höhe des wasserhaltenden Bogens C O = R . Cos λ. Da die Zellen bei der horizontalen Lage der Setzschaufeln ihr Wasser gänzlich verloren haben, so ist die Höhe C S = R . Cos μ; folglich ist die mittlere Höhe des wasserhaltenden Bogens in der untern Hälfte des Rades = ½ R (Cos λ + Cos μ). Die Winkel λ und μ müssen noch wegen der Fliehkraft um die Winkel W und W' vermehrt werden. Für den ersten haben wir Sin [FORMEL] und für den zweiten Sin [FORMEL]. Demnach erhalten wir die mittlere Höhe des wasserhaltenden Bogens an der untern Hälfte des Rades [FORMEL]. Die Substituzion dieser beiden Höhen gibt uns das gesammte Bewegungsmo- ment [FORMEL] und für den Fall des Maximum ist dieses Moment [FORMEL]. §. 336. Wir wollen nun diese neue Anordnung in einem Beispiele mit einem oberschlächtigen Rade nach unserer frühern Theorie vergleichen, und hierbei die Höhe der Radkränze, die Entfernung und Anzahl Zellen, wie auch die Gerstner’s Mechanik. Band II. 59

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 465. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/483>, abgerufen am 18.12.2024.