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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Relative Festigkeit der Körper.

Für die Spannung des Balkentheiles C D wirkt in der Mitte O nach §. 300 nur dieFig.
11.
Tab.
15.
Hälfte der darauf ruhenden gleichförmig vertheilten Last, also nur [Formel 1] . Die Last, wel-
che auf A C und B D ruht, und in der Mitte von A C und B D als wirkend angenom-
men werden kann, hat um die Punkte C und D das statische Moment
[Formel 2] , mit welchem es auf die Spannung in C und D und zugleich als Ge-
gengewicht auf die Belastung von C D wirkt. Durch diese beiden Momente wird daher
ein Theil der mittlern Belastung in O aufgewogen, welcher für jede Seite A C oder B D
offenbar [Formel 3] dividirt durch den Hebelsarm C O = y, oder [Formel 4] , demnach für bei-
de Seiten [Formel 5] beträgt. Es bleibt also in der Mitte O für die Spannung des Balkens
nur der Druck [Formel 6] übrig (III).

Bezeichnen wir der Kürze wegen das Spannungsmoment eines auf einer Seite be-
festigten Balkens mit M und das Moment eines auf beiden Seiten frei aufliegenden
Balkens mit 4 M', so erhalten wir für die Spannung in C und in D durch die Bela-
stung (I) von A C und B D nach §. 287 die Gleichung [Formel 7] , weil die Last
[Formel 8] als in dem Schwerpunkte, also auf der Länge [Formel 9] von C wirkend zu betrach-
ten ist. Hieraus folgt [Formel 10] = M (IV).

Für die Spannung in O durch die Belastung (III) von C D erhalten wir nach §. 292
die Gleichung [Formel 11] oder [Formel 12] (V).

Das Tragungsvermögen des Balkens wird am meisten benützt, wenn derselbe in
C, D und O, welche dem Bruche am nächsten sind, gleiche Spannungen er-
fährt. Diese Bedingniss gibt aber aus IV und V die Gleichung M = M' oder
[Formel 13] , woraus 2 x2 = y2 oder x : y = 1 : sqrt 2 = 1 : 1,4 = 5 : 7 sehr
nahe folgt.

Wenn daher auf einem Balken eine Last gleichförmig vertheilt
ist, so trägt derselbe am meisten, wenn seine ganze Länge in 24
Theile getheilt wird, und die Entfernungen der Unterlagen C und
D von den beiden Enden 5 Theile bekommen, sonach die Unterlagen
selbst um 14 Theile von einander abstehen.

Anwendungen dieses Satzes finden vorzüglich bei der Bestimmung der Stellung der
Achsen und Räder an Frachtwägen statt, weil hier die Tragbäume durch die beiden Wa-
genachsen innerhalb ihrer Länge unterstützt werden. Uiberhaupt kann die obige Be-
rechnung in allen jenen Fällen angewendet werden, wo Balken eine gleichförmig ver-
theilte Last zu tragen bestimmt sind, und nicht an ihren Endpunkten, sondern inner-
halb ihrer Länge gestützt werden.

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Relative Festigkeit der Körper.

Für die Spannung des Balkentheiles C D wirkt in der Mitte O nach §. 300 nur dieFig.
11.
Tab.
15.
Hälfte der darauf ruhenden gleichförmig vertheilten Last, also nur [Formel 1] . Die Last, wel-
che auf A C und B D ruht, und in der Mitte von A C und B D als wirkend angenom-
men werden kann, hat um die Punkte C und D das statische Moment
[Formel 2] , mit welchem es auf die Spannung in C und D und zugleich als Ge-
gengewicht auf die Belastung von C D wirkt. Durch diese beiden Momente wird daher
ein Theil der mittlern Belastung in O aufgewogen, welcher für jede Seite A C oder B D
offenbar [Formel 3] dividirt durch den Hebelsarm C O = y, oder [Formel 4] , demnach für bei-
de Seiten [Formel 5] beträgt. Es bleibt also in der Mitte O für die Spannung des Balkens
nur der Druck [Formel 6] übrig (III).

Bezeichnen wir der Kürze wegen das Spannungsmoment eines auf einer Seite be-
festigten Balkens mit M und das Moment eines auf beiden Seiten frei aufliegenden
Balkens mit 4 M', so erhalten wir für die Spannung in C und in D durch die Bela-
stung (I) von A C und B D nach §. 287 die Gleichung [Formel 7] , weil die Last
[Formel 8] als in dem Schwerpunkte, also auf der Länge [Formel 9] von C wirkend zu betrach-
ten ist. Hieraus folgt [Formel 10] = M (IV).

Für die Spannung in O durch die Belastung (III) von C D erhalten wir nach §. 292
die Gleichung [Formel 11] oder [Formel 12] (V).

Das Tragungsvermögen des Balkens wird am meisten benützt, wenn derselbe in
C, D und O, welche dem Bruche am nächsten sind, gleiche Spannungen er-
fährt. Diese Bedingniss gibt aber aus IV und V die Gleichung M = M' oder
[Formel 13] , woraus 2 x2 = y2 oder x : y = 1 : √ 2 = 1 : 1,4 = 5 : 7 sehr
nahe folgt.

Wenn daher auf einem Balken eine Last gleichförmig vertheilt
ist, so trägt derselbe am meisten, wenn seine ganze Länge in 24
Theile getheilt wird, und die Entfernungen der Unterlagen C und
D von den beiden Enden 5 Theile bekommen, sonach die Unterlagen
selbst um 14 Theile von einander abstehen.

Anwendungen dieses Satzes finden vorzüglich bei der Bestimmung der Stellung der
Achsen und Räder an Frachtwägen statt, weil hier die Tragbäume durch die beiden Wa-
genachsen innerhalb ihrer Länge unterstützt werden. Uiberhaupt kann die obige Be-
rechnung in allen jenen Fällen angewendet werden, wo Balken eine gleichförmig ver-
theilte Last zu tragen bestimmt sind, und nicht an ihren Endpunkten, sondern inner-
halb ihrer Länge gestützt werden.

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[315/0345] Relative Festigkeit der Körper. Für die Spannung des Balkentheiles C D wirkt in der Mitte O nach §. 300 nur die Hälfte der darauf ruhenden gleichförmig vertheilten Last, also nur [FORMEL]. Die Last, wel- che auf A C und B D ruht, und in der Mitte von A C und B D als wirkend angenom- men werden kann, hat um die Punkte C und D das statische Moment [FORMEL], mit welchem es auf die Spannung in C und D und zugleich als Ge- gengewicht auf die Belastung von C D wirkt. Durch diese beiden Momente wird daher ein Theil der mittlern Belastung in O aufgewogen, welcher für jede Seite A C oder B D offenbar [FORMEL] dividirt durch den Hebelsarm C O = y, oder [FORMEL], demnach für bei- de Seiten [FORMEL] beträgt. Es bleibt also in der Mitte O für die Spannung des Balkens nur der Druck [FORMEL] übrig (III). Fig. 11. Tab. 15. Bezeichnen wir der Kürze wegen das Spannungsmoment eines auf einer Seite be- festigten Balkens mit M und das Moment eines auf beiden Seiten frei aufliegenden Balkens mit 4 M', so erhalten wir für die Spannung in C und in D durch die Bela- stung (I) von A C und B D nach §. 287 die Gleichung [FORMEL], weil die Last [FORMEL] als in dem Schwerpunkte, also auf der Länge [FORMEL] von C wirkend zu betrach- ten ist. Hieraus folgt [FORMEL] = M (IV). Für die Spannung in O durch die Belastung (III) von C D erhalten wir nach §. 292 die Gleichung [FORMEL] oder [FORMEL] (V). Das Tragungsvermögen des Balkens wird am meisten benützt, wenn derselbe in C, D und O, welche dem Bruche am nächsten sind, gleiche Spannungen er- fährt. Diese Bedingniss gibt aber aus IV und V die Gleichung M = M' oder [FORMEL], woraus 2 x2 = y2 oder x : y = 1 : √ 2 = 1 : 1,4 = 5 : 7 sehr nahe folgt. Wenn daher auf einem Balken eine Last gleichförmig vertheilt ist, so trägt derselbe am meisten, wenn seine ganze Länge in 24 Theile getheilt wird, und die Entfernungen der Unterlagen C und D von den beiden Enden 5 Theile bekommen, sonach die Unterlagen selbst um 14 Theile von einander abstehen. Anwendungen dieses Satzes finden vorzüglich bei der Bestimmung der Stellung der Achsen und Räder an Frachtwägen statt, weil hier die Tragbäume durch die beiden Wa- genachsen innerhalb ihrer Länge unterstützt werden. Uiberhaupt kann die obige Be- rechnung in allen jenen Fällen angewendet werden, wo Balken eine gleichförmig ver- theilte Last zu tragen bestimmt sind, und nicht an ihren Endpunkten, sondern inner- halb ihrer Länge gestützt werden. 40 *

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 315. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/345>, abgerufen am 26.04.2024.