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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Bewegung schief geworfener Körper.

Es ist offenbar, dass die Schwere nur der senkrechten, nicht aber der horizonta-Fig.
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Tab.
28.
len Richtung entgegenwirken wird; wenn sich daher der obige Körper nur allein in
der horizontalen Richtung bewegen möchte, so würde er fortwährend die Geschwin-
digkeit c . Cos w behalten, und den horizontalen Raum = c . t . Cos w in t Se-
kunden beschreiben. Was jedoch die senkrechte Bewegung des Körpers betrifft,
so wird selbe durch die Wirkung der Schwere fortwährend vermindert, und zwar hin-
sichtlich der Geschwindigkeit um die Grösse 2 g, 2.2 g, 3 .2 g, ... t . 2 g, so dass allge-
mein die senkrechte Geschwindigkeit = c . Sin w -- 2 g . t seyn wird, und der senk-
rechte Raum, welchen der Körper nach t Sekunden zurücklegt, oder die Höhe, auf
welcher sich der Körper nach t Sekunden befindet, wird = c . t . Sin w -- g . t2 seyn.

Dasselbe lässt sich auch auf folgende Art zeigen: Wenn der Körper mit der Ge-
schwindigkeit c nach der Richtung A O geworfen wird, so wird er während der Zeit t
ohne Rücksicht auf die Schwere den Raum A O = c . t beschreiben. Weil aber die
Linie A O mit dem Horizonte den Winkel w macht, so würde derselbe in gleicher
Zeit auf die Höhe A N = c . t . Sin w gehoben, und nach der horizontalen Richtung
den Raum A N = c . t . Cos w zurückgelegt haben. Diess stimmt mit dem vorher An-
geführten überein. Weil aber die Schwere den Körper nach der senkrechten Richtung
um die Höhe g . t2 = O M herabzieht, so wird derselbe sich nur auf der Höhe
N O -- M O = N M = c . t . Sin w -- g . t2 befinden, was abermal mit dem Vorherge-
henden übereinstimmt. Wir haben daher zu der Bestimmung der Bewegung eines, un-
ter einem schiefen Winkel geworfenen Körpers folgende vier Gleichungen:

I. Die vertikale Geschwindigkeit v = c . Sin w -- 2 g . t.
II. Der vertikale Raum y = c . t . Sin w -- g . t2.
III. Die horizontale Geschwindigkeit v' = c . Cos w.
IV. Der horizontale Raum x = c . t . Cos w.

Hieraus lässt sich die Bahn eines jeden geworfenen Körpers berechnen und ver-Fig.
3.
zeichnen: Man theile nämlich die horizontale Linie A N in gleiche Theile, wovon je-
der den Raum c . Cos w vorstellt, ziehe unter dem gegebenen Winkel w die Linie A O,
errichte in den Theilungspunkten b, b', b'' ...... die Perpendikeln b d, b' d', b'' d''
...... und ziehe hievon die Wirkung der Schwerkraft g, 4 g, 9 g ..... ab, so erhält
man eine krumme Linie A M, in welcher sich der Körper wirklich bewegen wird, und
die ohne Rücksicht auf den Widerstand der Luft eine Parabel seyn wird.

Um die Geschwindigkeit in der Richtung der Bahn v'' = A e zu fin-
den, haben wir A e2 = e b2 + A b oder substituirt
(v'')2 = (c . Sin w -- 2 g . t)2 + c2. Cos2 w = c2 -- 4 g (c . t . Sin w -- g . t2) = c2 -- 4 g . y
woraus v'' = +/- sqrt (c2 -- 4 g . y) (V) folgt.

Dieser Ausdruck gibt sammt den obigen nunmehr fünf Gleichungen, in welchen acht
veränderliche Grössen: x, y, v, v', v'', t, c und w vorkommen; wenn daher drei von
diesen Grössen gegeben sind, so kann man die fünf andern berechnen.

§. 499.
Beispiel. Es sey die Bahn eines Körpers zu bestimmen, welcher mit der Geschwin-
digkeit von 310 Fuss geworfen wird, und zwar für die Wurfswinkel von 15, 30, 45,
60, 75 und 90 Grad.
Bewegung schief geworfener Körper.

Es ist offenbar, dass die Schwere nur der senkrechten, nicht aber der horizonta-Fig.
2.
Tab.
28.
len Richtung entgegenwirken wird; wenn sich daher der obige Körper nur allein in
der horizontalen Richtung bewegen möchte, so würde er fortwährend die Geschwin-
digkeit c . Cos w behalten, und den horizontalen Raum = c . t . Cos w in t Se-
kunden beschreiben. Was jedoch die senkrechte Bewegung des Körpers betrifft,
so wird selbe durch die Wirkung der Schwere fortwährend vermindert, und zwar hin-
sichtlich der Geschwindigkeit um die Grösse 2 g, 2.2 g, 3 .2 g, … t . 2 g, so dass allge-
mein die senkrechte Geschwindigkeit = c . Sin w — 2 g . t seyn wird, und der senk-
rechte Raum, welchen der Körper nach t Sekunden zurücklegt, oder die Höhe, auf
welcher sich der Körper nach t Sekunden befindet, wird = c . t . Sin w — g . t2 seyn.

Dasselbe lässt sich auch auf folgende Art zeigen: Wenn der Körper mit der Ge-
schwindigkeit c nach der Richtung A O geworfen wird, so wird er während der Zeit t
ohne Rücksicht auf die Schwere den Raum A O = c . t beschreiben. Weil aber die
Linie A O mit dem Horizonte den Winkel w macht, so würde derselbe in gleicher
Zeit auf die Höhe A N = c . t . Sin w gehoben, und nach der horizontalen Richtung
den Raum A N = c . t . Cos w zurückgelegt haben. Diess stimmt mit dem vorher An-
geführten überein. Weil aber die Schwere den Körper nach der senkrechten Richtung
um die Höhe g . t2 = O M herabzieht, so wird derselbe sich nur auf der Höhe
N O — M O = N M = c . t . Sin w — g . t2 befinden, was abermal mit dem Vorherge-
henden übereinstimmt. Wir haben daher zu der Bestimmung der Bewegung eines, un-
ter einem schiefen Winkel geworfenen Körpers folgende vier Gleichungen:

I. Die vertikale Geschwindigkeit v = c . Sin w — 2 g . t.
II. Der vertikale Raum y = c . t . Sin w — g . t2.
III. Die horizontale Geschwindigkeit v' = c . Cos w.
IV. Der horizontale Raum x = c . t . Cos w.

Hieraus lässt sich die Bahn eines jeden geworfenen Körpers berechnen und ver-Fig.
3.
zeichnen: Man theile nämlich die horizontale Linie A N in gleiche Theile, wovon je-
der den Raum c . Cos w vorstellt, ziehe unter dem gegebenen Winkel w die Linie A O,
errichte in den Theilungspunkten b, b', b'' ...... die Perpendikeln b d, b' d', b'' d''
...... und ziehe hievon die Wirkung der Schwerkraft g, 4 g, 9 g ..... ab, so erhält
man eine krumme Linie A M, in welcher sich der Körper wirklich bewegen wird, und
die ohne Rücksicht auf den Widerstand der Luft eine Parabel seyn wird.

Um die Geschwindigkeit in der Richtung der Bahn v'' = A e zu fin-
den, haben wir A e2 = e b2 + A b oder substituirt
(v'')2 = (c . Sin w — 2 g . t)2 + c2. Cos2 w = c2 — 4 g (c . t . Sin w — g . t2) = c2 — 4 g . y
woraus v'' = ± √ (c2 — 4 g . y) (V) folgt.

Dieser Ausdruck gibt sammt den obigen nunmehr fünf Gleichungen, in welchen acht
veränderliche Grössen: x, y, v, v', v'', t, c und w vorkommen; wenn daher drei von
diesen Grössen gegeben sind, so kann man die fünf andern berechnen.

§. 499.
Beispiel. Es sey die Bahn eines Körpers zu bestimmen, welcher mit der Geschwin-
digkeit von 310 Fuss geworfen wird, und zwar für die Wurfswinkel von 15, 30, 45,
60, 75 und 90 Grad.
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[543/0575] Bewegung schief geworfener Körper. Es ist offenbar, dass die Schwere nur der senkrechten, nicht aber der horizonta- len Richtung entgegenwirken wird; wenn sich daher der obige Körper nur allein in der horizontalen Richtung bewegen möchte, so würde er fortwährend die Geschwin- digkeit c . Cos w behalten, und den horizontalen Raum = c . t . Cos w in t Se- kunden beschreiben. Was jedoch die senkrechte Bewegung des Körpers betrifft, so wird selbe durch die Wirkung der Schwere fortwährend vermindert, und zwar hin- sichtlich der Geschwindigkeit um die Grösse 2 g, 2.2 g, 3 .2 g, … t . 2 g, so dass allge- mein die senkrechte Geschwindigkeit = c . Sin w — 2 g . t seyn wird, und der senk- rechte Raum, welchen der Körper nach t Sekunden zurücklegt, oder die Höhe, auf welcher sich der Körper nach t Sekunden befindet, wird = c . t . Sin w — g . t2 seyn. Fig. 2. Tab. 28. Dasselbe lässt sich auch auf folgende Art zeigen: Wenn der Körper mit der Ge- schwindigkeit c nach der Richtung A O geworfen wird, so wird er während der Zeit t ohne Rücksicht auf die Schwere den Raum A O = c . t beschreiben. Weil aber die Linie A O mit dem Horizonte den Winkel w macht, so würde derselbe in gleicher Zeit auf die Höhe A N = c . t . Sin w gehoben, und nach der horizontalen Richtung den Raum A N = c . t . Cos w zurückgelegt haben. Diess stimmt mit dem vorher An- geführten überein. Weil aber die Schwere den Körper nach der senkrechten Richtung um die Höhe g . t2 = O M herabzieht, so wird derselbe sich nur auf der Höhe N O — M O = N M = c . t . Sin w — g . t2 befinden, was abermal mit dem Vorherge- henden übereinstimmt. Wir haben daher zu der Bestimmung der Bewegung eines, un- ter einem schiefen Winkel geworfenen Körpers folgende vier Gleichungen: I. Die vertikale Geschwindigkeit v = c . Sin w — 2 g . t. II. Der vertikale Raum y = c . t . Sin w — g . t2. III. Die horizontale Geschwindigkeit v' = c . Cos w. IV. Der horizontale Raum x = c . t . Cos w. Hieraus lässt sich die Bahn eines jeden geworfenen Körpers berechnen und ver- zeichnen: Man theile nämlich die horizontale Linie A N in gleiche Theile, wovon je- der den Raum c . Cos w vorstellt, ziehe unter dem gegebenen Winkel w die Linie A O, errichte in den Theilungspunkten b, b', b'' ...... die Perpendikeln b d, b' d', b'' d'' ...... und ziehe hievon die Wirkung der Schwerkraft g, 4 g, 9 g ..... ab, so erhält man eine krumme Linie A M, in welcher sich der Körper wirklich bewegen wird, und die ohne Rücksicht auf den Widerstand der Luft eine Parabel seyn wird. Fig. 3. Um die Geschwindigkeit in der Richtung der Bahn v'' = A e zu fin- den, haben wir A e2 = e b2 + A b oder substituirt (v'')2 = (c . Sin w — 2 g . t)2 + c2. Cos2 w = c2 — 4 g (c . t . Sin w — g . t2) = c2 — 4 g . y woraus v'' = ± √ (c2 — 4 g . y) (V) folgt. Dieser Ausdruck gibt sammt den obigen nunmehr fünf Gleichungen, in welchen acht veränderliche Grössen: x, y, v, v', v'', t, c und w vorkommen; wenn daher drei von diesen Grössen gegeben sind, so kann man die fünf andern berechnen. §. 499. Beispiel. Es sey die Bahn eines Körpers zu bestimmen, welcher mit der Geschwin- digkeit von 310 Fuss geworfen wird, und zwar für die Wurfswinkel von 15, 30, 45, 60, 75 und 90 Grad.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 543. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/575>, abgerufen am 18.12.2024.