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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Verzeichnung elyptischer Bögen.
§. 386.

Um demnach die Verzeichnung der Elypse auf eine allgemeine Art
vorzunehmen, führen wir noch folgende Methode an, die sich auf die Länge des
Krümmungshalbmessers für jeden Punkt des elyptischen Bogens
gründet.

Es sey A C = A' C = a die verlangte halbe Spannweite und B C = b die Höhe desFig.
12.
Tab.
19.
Gewölbes. Man beschreibe mit dem Halbmesser C A den Kreis A B' A', verbinde einen
beliebigen Punkt M' desselben mit dem Mittelpunkte C und ziehe von M' die Senkrech-
te M' M und Horizontale M' R'; es fragt sich nun den Punkt M in der Elypse zu bestimmen.

Nennen wir den Winkel B C M' = v, so ist M' R' = a. Sin v = M R = P Q, dann
M' N = a. Cos v, und weil sich die Ordinate der Elypse zur Ordinate im Kreise, wie die
halbe kleinere Achse zur halben grössern Achse oder M N : M' N = b : a verhalten muss,
so ist auch M N = b . Cos v.

Ziehen wir nun auf den Bogen M m die Linie M O winkelrecht und bezeichnet O den
Mittelpunkt der Krümmung für den elyptischen Bogen in der Gegend von M, demnach
M O den Krümmungshalbmesser dieses Bogens, welchen wir mit r bezeichnen wollen, so
ist, nach der höhern Analysis *) die Grösse dieses Krümmungshalbmessers
M O = r = [Formel 10] .

Für den Punkt B ist v = 0, daher r = [Formel 11] = B D, für die Punkte A und A' aber
ist v = 90 Grad, daher r = [Formel 12] = A E; auf gleiche Art kann der Krümmungshalbmes-
ser für jeden andern Werth von v berechnet werden.

Um die Krümmungshalbmesser für eine Entwicklungslinie zu erhalten, mit-
telst welcher, so wie §. 371 bei der Kettenlinie, der elyptische Bogen beschrieben wer-
den kann, ziehen wir für den Endpunkt O des Krümmungshalbmessers M O die Horizon-
tale P O Q und verlängern die Ordinate M N bis Q. Demnach ist C P die Abscisse und
O P die Ordinate für den Mittelpunkt O.

*) Wir haben M' R' = a . Sin v = M R = P Q und M' N = a . Cos v, folglich M N = b . Cos v, daherFig.
12.
m q = a . d v . Cos v und M q = b . d v . Sin v.
Setzen wir nun den Winkel M m q = w, so ist tang [Formel 1] tang v.
Ziehen wir nun auf die Linien M m die Linie M O winkelrecht, so ist wiebekannt die Grösse des
Krümmungshalbmessers [Formel 2] und da
tang w = [Formel 3] · tang v, daher d w = [Formel 4] · Cos2 w [Formel 5] ist, so haben wir auch [Formel 6]
Weil aber tang w = [Formel 7] . tang v ist, so ist [Formel 8] ,
woraus [Formel 9] folgt.
55 *
Verzeichnung elyptischer Bögen.
§. 386.

Um demnach die Verzeichnung der Elypse auf eine allgemeine Art
vorzunehmen, führen wir noch folgende Methode an, die sich auf die Länge des
Krümmungshalbmessers für jeden Punkt des elyptischen Bogens
gründet.

Es sey A C = A' C = a die verlangte halbe Spannweite und B C = b die Höhe desFig.
12.
Tab.
19.
Gewölbes. Man beschreibe mit dem Halbmesser C A den Kreis A B' A', verbinde einen
beliebigen Punkt M' desselben mit dem Mittelpunkte C und ziehe von M' die Senkrech-
te M' M und Horizontale M' R'; es fragt sich nun den Punkt M in der Elypse zu bestimmen.

Nennen wir den Winkel B C M' = v, so ist M' R' = a. Sin v = M R = P Q, dann
M' N = a. Cos v, und weil sich die Ordinate der Elypse zur Ordinate im Kreise, wie die
halbe kleinere Achse zur halben grössern Achse oder M N : M' N = b : a verhalten muss,
so ist auch M N = b . Cos v.

Ziehen wir nun auf den Bogen M m die Linie M O winkelrecht und bezeichnet O den
Mittelpunkt der Krümmung für den elyptischen Bogen in der Gegend von M, demnach
M O den Krümmungshalbmesser dieses Bogens, welchen wir mit r bezeichnen wollen, so
ist, nach der höhern Analysis *) die Grösse dieses Krümmungshalbmessers
M O = r = [Formel 10] .

Für den Punkt B ist v = 0, daher r = [Formel 11] = B D, für die Punkte A und A' aber
ist v = 90 Grad, daher r = [Formel 12] = A E; auf gleiche Art kann der Krümmungshalbmes-
ser für jeden andern Werth von v berechnet werden.

Um die Krümmungshalbmesser für eine Entwicklungslinie zu erhalten, mit-
telst welcher, so wie §. 371 bei der Kettenlinie, der elyptische Bogen beschrieben wer-
den kann, ziehen wir für den Endpunkt O des Krümmungshalbmessers M O die Horizon-
tale P O Q und verlängern die Ordinate M N bis Q. Demnach ist C P die Abscisse und
O P die Ordinate für den Mittelpunkt O.

*) Wir haben M' R' = a . Sin v = M R = P Q und M' N = a . Cos v, folglich M N = b . Cos v, daherFig.
12.
m q = a . d v . Cos v und M q = b . d v . Sin v.
Setzen wir nun den Winkel M m q = w, so ist tang [Formel 1] tang v.
Ziehen wir nun auf die Linien M m die Linie M O winkelrecht, so ist wiebekannt die Grösse des
Krümmungshalbmessers [Formel 2] und da
tang w = [Formel 3] · tang v, daher d w = [Formel 4] · Cos2 w [Formel 5] ist, so haben wir auch [Formel 6]
Weil aber tang w = [Formel 7] . tang v ist, so ist [Formel 8] ,
woraus [Formel 9] folgt.
55 *
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[435/0465] Verzeichnung elyptischer Bögen. §. 386. Um demnach die Verzeichnung der Elypse auf eine allgemeine Art vorzunehmen, führen wir noch folgende Methode an, die sich auf die Länge des Krümmungshalbmessers für jeden Punkt des elyptischen Bogens gründet. Es sey A C = A' C = a die verlangte halbe Spannweite und B C = b die Höhe des Gewölbes. Man beschreibe mit dem Halbmesser C A den Kreis A B' A', verbinde einen beliebigen Punkt M' desselben mit dem Mittelpunkte C und ziehe von M' die Senkrech- te M' M und Horizontale M' R'; es fragt sich nun den Punkt M in der Elypse zu bestimmen. Fig. 12. Tab. 19. Nennen wir den Winkel B C M' = v, so ist M' R' = a. Sin v = M R = P Q, dann M' N = a. Cos v, und weil sich die Ordinate der Elypse zur Ordinate im Kreise, wie die halbe kleinere Achse zur halben grössern Achse oder M N : M' N = b : a verhalten muss, so ist auch M N = b . Cos v. Ziehen wir nun auf den Bogen M m die Linie M O winkelrecht und bezeichnet O den Mittelpunkt der Krümmung für den elyptischen Bogen in der Gegend von M, demnach M O den Krümmungshalbmesser dieses Bogens, welchen wir mit r bezeichnen wollen, so ist, nach der höhern Analysis *) die Grösse dieses Krümmungshalbmessers M O = r = [FORMEL]. Für den Punkt B ist v = 0, daher r = [FORMEL] = B D, für die Punkte A und A' aber ist v = 90 Grad, daher r = [FORMEL] = A E; auf gleiche Art kann der Krümmungshalbmes- ser für jeden andern Werth von v berechnet werden. Um die Krümmungshalbmesser für eine Entwicklungslinie zu erhalten, mit- telst welcher, so wie §. 371 bei der Kettenlinie, der elyptische Bogen beschrieben wer- den kann, ziehen wir für den Endpunkt O des Krümmungshalbmessers M O die Horizon- tale P O Q und verlängern die Ordinate M N bis Q. Demnach ist C P die Abscisse und O P die Ordinate für den Mittelpunkt O. *) Wir haben M' R' = a . Sin v = M R = P Q und M' N = a . Cos v, folglich M N = b . Cos v, daher m q = a . d v . Cos v und M q = b . d v . Sin v. Setzen wir nun den Winkel M m q = w, so ist tang [FORMEL] tang v. Ziehen wir nun auf die Linien M m die Linie M O winkelrecht, so ist wiebekannt die Grösse des Krümmungshalbmessers [FORMEL] und da tang w = [FORMEL]· tang v, daher d w = [FORMEL]· Cos2 w [FORMEL] ist, so haben wir auch [FORMEL] Weil aber tang w = [FORMEL]. tang v ist, so ist [FORMEL], woraus [FORMEL] folgt. 55 *

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 435. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/465>, abgerufen am 18.12.2024.