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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Relative Festigkeit der Körper.
Fig.
3.
Tab.
15. [Formel 1] , und jenes für den Bruch in N ebenfalls §. 287 mit [Formel 2] ; folg-
lich ist [Formel 3] oder
[Formel 4] .

Wenn nun C in der Mitte von M und N liegt, so dass [Formel 5]
und die Entfernung, wie viel die Last Q ausser der Mitte hängt, oder C O abermals
= E gesetzt wird, so haben wir [Formel 6] ;
nimmt man aber das Gewicht des Balkens noch in Rechnung, so ist nach §. 291 die Last
[Formel 7] .

Vergleicht man dieses Resultat mit jenem §. 291 wo der Balken beiderseits frei auf-
gelegt war, so ergibt sich, dass der eingemauerte Balken (wenn man auf sein
eigenes Gewicht keine Rücksicht nimmt) doppelt so viel trägt, als wenn er
beiderseits aufliegt, und dass er 8mal so viel trägt, als wenn der-
selbe bloss an einem Ende eingemauert ist.

§. 302.

Wir haben §. 287 das Tragungsvermögen eines parallelopipedischen, an einem En-
de eingemauerten Balkens [Formel 8] gefunden. Ein jeder Balken wird aus einem
runden Baumstamme gezimmert; die Abmessungen B und H desselben hängen daher
von dem Durchmesser des Stammes ab, und können ein mannigfaltiges Verhältniss zu
einander bekommen. Es frägt sich nun, wenn der Durchmesser des Stammes gegeben
ist, das Verhältniss von B : H so zu bestimmen, damit das Produkt B. H2 am gröss-
ten wird, um dadurch den stärksten Balken aus einem gegebenen Stam-
me zu erhalten.

Fig.
4.

Es stelle Fig. 4 das Profil eines runden Stammes vor, in welchem der Querschnitt
des auszuzimmernden Balkens M O N P verzeichnet ist, so dass die Breite desselben
O N = B und seine Höhe P N = H jene Maasse seyen, bei denen das Produkt
B. H2 = A ein Maximum wird. Bezeichnen wir den Durchmesser des Stammes O P
mit D, so ist in dem rechtwinkeligen Dreiecke O N P offenbar H2 = D2 -- B2, also auch
das Produkt A = B. D2 -- B3. Soll nun B derjenige Werth seyn, bei welchem A am
grössten wird, so muss für jeden Werth B +/- x, der um eine noch so kleine Grösse x
grösser oder kleiner als B ist, das Produkt immer kleiner werden, sonst könnte der
Voraussetzung gemäss A nicht das grösste Produkt seyn, d. i. das Produkt
C = (B + x) D2 -- (B + x)3 = B. D2 -- B3 + (D2 -- 3 B2) x -- 3 B. x2 -- x3 muss klei-
ner seyn, als A. Damit dieses Bedingniss erfüllt werde, muss das Glied (D2 -- 3 B2) x,

Relative Festigkeit der Körper.
Fig.
3.
Tab.
15. [Formel 1] , und jenes für den Bruch in N ebenfalls §. 287 mit [Formel 2] ; folg-
lich ist [Formel 3] oder
[Formel 4] .

Wenn nun C in der Mitte von M und N liegt, so dass [Formel 5]
und die Entfernung, wie viel die Last Q ausser der Mitte hängt, oder C O abermals
= E gesetzt wird, so haben wir [Formel 6] ;
nimmt man aber das Gewicht des Balkens noch in Rechnung, so ist nach §. 291 die Last
[Formel 7] .

Vergleicht man dieses Resultat mit jenem §. 291 wo der Balken beiderseits frei auf-
gelegt war, so ergibt sich, dass der eingemauerte Balken (wenn man auf sein
eigenes Gewicht keine Rücksicht nimmt) doppelt so viel trägt, als wenn er
beiderseits aufliegt, und dass er 8mal so viel trägt, als wenn der-
selbe bloss an einem Ende eingemauert ist.

§. 302.

Wir haben §. 287 das Tragungsvermögen eines parallelopipedischen, an einem En-
de eingemauerten Balkens [Formel 8] gefunden. Ein jeder Balken wird aus einem
runden Baumstamme gezimmert; die Abmessungen B und H desselben hängen daher
von dem Durchmesser des Stammes ab, und können ein mannigfaltiges Verhältniss zu
einander bekommen. Es frägt sich nun, wenn der Durchmesser des Stammes gegeben
ist, das Verhältniss von B : H so zu bestimmen, damit das Produkt B. H2 am gröss-
ten wird, um dadurch den stärksten Balken aus einem gegebenen Stam-
me zu erhalten.

Fig.
4.

Es stelle Fig. 4 das Profil eines runden Stammes vor, in welchem der Querschnitt
des auszuzimmernden Balkens M O N P verzeichnet ist, so dass die Breite desselben
O N = B und seine Höhe P N = H jene Maasse seyen, bei denen das Produkt
B. H2 = A ein Maximum wird. Bezeichnen wir den Durchmesser des Stammes O P
mit D, so ist in dem rechtwinkeligen Dreiecke O N P offenbar H2 = D2 — B2, also auch
das Produkt A = B. D2 — B3. Soll nun B derjenige Werth seyn, bei welchem A am
grössten wird, so muss für jeden Werth B ± x, der um eine noch so kleine Grösse x
grösser oder kleiner als B ist, das Produkt immer kleiner werden, sonst könnte der
Voraussetzung gemäss A nicht das grösste Produkt seyn, d. i. das Produkt
C = (B + x) D2 — (B + x)3 = B. D2 — B3 + (D2 — 3 B2) x — 3 B. x2 — x3 muss klei-
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[308/0338] Relative Festigkeit der Körper. [FORMEL], und jenes für den Bruch in N ebenfalls §. 287 mit [FORMEL]; folg- lich ist [FORMEL] oder [FORMEL]. Fig. 3. Tab. 15. Wenn nun C in der Mitte von M und N liegt, so dass [FORMEL] und die Entfernung, wie viel die Last Q ausser der Mitte hängt, oder C O abermals = E gesetzt wird, so haben wir [FORMEL]; nimmt man aber das Gewicht des Balkens noch in Rechnung, so ist nach §. 291 die Last [FORMEL]. Vergleicht man dieses Resultat mit jenem §. 291 wo der Balken beiderseits frei auf- gelegt war, so ergibt sich, dass der eingemauerte Balken (wenn man auf sein eigenes Gewicht keine Rücksicht nimmt) doppelt so viel trägt, als wenn er beiderseits aufliegt, und dass er 8mal so viel trägt, als wenn der- selbe bloss an einem Ende eingemauert ist. §. 302. Wir haben §. 287 das Tragungsvermögen eines parallelopipedischen, an einem En- de eingemauerten Balkens [FORMEL] gefunden. Ein jeder Balken wird aus einem runden Baumstamme gezimmert; die Abmessungen B und H desselben hängen daher von dem Durchmesser des Stammes ab, und können ein mannigfaltiges Verhältniss zu einander bekommen. Es frägt sich nun, wenn der Durchmesser des Stammes gegeben ist, das Verhältniss von B : H so zu bestimmen, damit das Produkt B. H2 am gröss- ten wird, um dadurch den stärksten Balken aus einem gegebenen Stam- me zu erhalten. Es stelle Fig. 4 das Profil eines runden Stammes vor, in welchem der Querschnitt des auszuzimmernden Balkens M O N P verzeichnet ist, so dass die Breite desselben O N = B und seine Höhe P N = H jene Maasse seyen, bei denen das Produkt B. H2 = A ein Maximum wird. Bezeichnen wir den Durchmesser des Stammes O P mit D, so ist in dem rechtwinkeligen Dreiecke O N P offenbar H2 = D2 — B2, also auch das Produkt A = B. D2 — B3. Soll nun B derjenige Werth seyn, bei welchem A am grössten wird, so muss für jeden Werth B ± x, der um eine noch so kleine Grösse x grösser oder kleiner als B ist, das Produkt immer kleiner werden, sonst könnte der Voraussetzung gemäss A nicht das grösste Produkt seyn, d. i. das Produkt C = (B + x) D2 — (B + x)3 = B. D2 — B3 + (D2 — 3 B2) x — 3 B. x2 — x3 muss klei- ner seyn, als A. Damit dieses Bedingniss erfüllt werde, muss das Glied (D2 — 3 B2) x,

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 308. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/338>, abgerufen am 18.12.2024.