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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Hebel.
können uns also diesen dritten Punkt B als den Unterstützungs- oder Ruhepunkt vor-
stellen und haben nun einen Hebel der zweiten Art.

§. 62.

Diesen Satz kann man sich ebenfalls leicht versinnlichen. Man stelle sich wieder ein
Fig.
16.
Tab.
1.Prisma H G vor, welehes in seiner Mitte C unterstützt ist. Man theile diess z. B. in 8 gleiche
Theile, und es sey das Gewicht eines solchen Theiles = 1 Lb. Es werden demnach drei
solche Theile H B = 3 Lb = P und die übrigen fünf Theile G B = 5 Lb = Q wiegen.
Denkt man sich diese Gewichte 3 Lb und 5 Lb in ihren Schwerpunkten D und E befestigt,
so bleibt alles im Gleichgewichte und die Unterlage trägt in der Mitte C die ganze Last
des Hebels P + Q = 8 Lb = R. Diese 8 Lb binde man mit einem Faden an das Ende N
eines gleicharmigen Hebels M N und den Punkt C an M, so wird der Faden C M mit
einer gleichen Kraft R = P + Q = 8 Lb in die Höhe gezogen. Es werden also nicht
nur die Gewichte P und Q um den Unterstützungspunkt C im Gleichgewichte seyn, son-
dern auch die Zugkraft R in C den beiden Gewichten P und Q das Gleichgewicht halten
und da sich in unserem Falle
[Formel 1] [Formel 2] und auf gleiche Art R : P oder 8 : 3 = H G : H B = [Formel 3]
[Formel 4] verhält, so folgt hieraus der allgemeine Satz, dass überhaupt drei an einem Hebel
angebrachte Kräfte P, Q und R (oder P + Q) einander das Gleichgewicht halten, wenn
sich je zwei derselben verhalten, wie umgekehrt ihre Entfernungen
von der dritten Kraft.

§. 63.

Wir wollen nun die Bedingnisse des Gleichgewichtes untersuchen, wenn an einem
Fig.
17.Hebel der ersten Art drei Kräfte P, Q und R angebracht sind, welche um einen gemein-
schaftlichen Unterstützungspunkt einander das Gleichgewicht halten sollen. Zur Beant-
wortung dieser Frage sey A O C ein mathematischer Hebel, der in O unterstützt ist; es
ziehen auf der einen Seite des Unterstützungspunktes O die zwei Kräfte Q und R herab
und diese sollen mit der dritten in A angebrachten Kraft P im Gleichgewichte seyn.

Man stelle sich die Kraft oder das Gewicht P in zwei Kräfte x und y zerlegt vor, d. h.
man denke sich, es seyen statt P die zwei Gewichte x und y in A aufgehängt und von diesen
Gewichten halte x das Gleichgewicht mit Q und y das Gleichgewicht mit R. Wir können
demnach den Satz §. 58. vom einfachen Hebel anwenden, und erhalten die Gleichungen:
x. A O = Q. B O
y. A O = R. C O folglich,
(x + y) A O = Q. B O + R. C O; da aber x + y = P ist, so haben wir auch
P. A O = Q. B O + R. C O, d. h. das statische Moment des einen Ge-
wichtes P muss der Summe der statischen Momente der beiden an
dern Gewichte Q und R gleich seyn.

Hebel.
können uns also diesen dritten Punkt B als den Unterstützungs- oder Ruhepunkt vor-
stellen und haben nun einen Hebel der zweiten Art.

§. 62.

Diesen Satz kann man sich ebenfalls leicht versinnlichen. Man stelle sich wieder ein
Fig.
16.
Tab.
1.Prisma H G vor, welehes in seiner Mitte C unterstützt ist. Man theile diess z. B. in 8 gleiche
Theile, und es sey das Gewicht eines solchen Theiles = 1 ℔. Es werden demnach drei
solche Theile H B = 3 ℔ = P und die übrigen fünf Theile G B = 5 ℔ = Q wiegen.
Denkt man sich diese Gewichte 3 ℔ und 5 ℔ in ihren Schwerpunkten D und E befestigt,
so bleibt alles im Gleichgewichte und die Unterlage trägt in der Mitte C die ganze Last
des Hebels P + Q = 8 ℔ = R. Diese 8 ℔ binde man mit einem Faden an das Ende N
eines gleicharmigen Hebels M N und den Punkt C an M, so wird der Faden C M mit
einer gleichen Kraft R = P + Q = 8 ℔ in die Höhe gezogen. Es werden also nicht
nur die Gewichte P und Q um den Unterstützungspunkt C im Gleichgewichte seyn, son-
dern auch die Zugkraft R in C den beiden Gewichten P und Q das Gleichgewicht halten
und da sich in unserem Falle
[Formel 1] [Formel 2] und auf gleiche Art R : P oder 8 : 3 = H G : H B = [Formel 3]
[Formel 4] verhält, so folgt hieraus der allgemeine Satz, dass überhaupt drei an einem Hebel
angebrachte Kräfte P, Q und R (oder P + Q) einander das Gleichgewicht halten, wenn
sich je zwei derselben verhalten, wie umgekehrt ihre Entfernungen
von der dritten Kraft.

§. 63.

Wir wollen nun die Bedingnisse des Gleichgewichtes untersuchen, wenn an einem
Fig.
17.Hebel der ersten Art drei Kräfte P, Q und R angebracht sind, welche um einen gemein-
schaftlichen Unterstützungspunkt einander das Gleichgewicht halten sollen. Zur Beant-
wortung dieser Frage sey A O C ein mathematischer Hebel, der in O unterstützt ist; es
ziehen auf der einen Seite des Unterstützungspunktes O die zwei Kräfte Q und R herab
und diese sollen mit der dritten in A angebrachten Kraft P im Gleichgewichte seyn.

Man stelle sich die Kraft oder das Gewicht P in zwei Kräfte x und y zerlegt vor, d. h.
man denke sich, es seyen statt P die zwei Gewichte x und y in A aufgehängt und von diesen
Gewichten halte x das Gleichgewicht mit Q und y das Gleichgewicht mit R. Wir können
demnach den Satz §. 58. vom einfachen Hebel anwenden, und erhalten die Gleichungen:
x. A O = Q. B O
y. A O = R. C O folglich,
(x + y) A O = Q. B O + R. C O; da aber x + y = P ist, so haben wir auch
P. A O = Q. B O + R. C O, d. h. das statische Moment des einen Ge-
wichtes P muss der Summe der statischen Momente der beiden an
dern Gewichte Q und R gleich seyn.

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[80/0110] Hebel. können uns also diesen dritten Punkt B als den Unterstützungs- oder Ruhepunkt vor- stellen und haben nun einen Hebel der zweiten Art. §. 62. Diesen Satz kann man sich ebenfalls leicht versinnlichen. Man stelle sich wieder ein Prisma H G vor, welehes in seiner Mitte C unterstützt ist. Man theile diess z. B. in 8 gleiche Theile, und es sey das Gewicht eines solchen Theiles = 1 ℔. Es werden demnach drei solche Theile H B = 3 ℔ = P und die übrigen fünf Theile G B = 5 ℔ = Q wiegen. Denkt man sich diese Gewichte 3 ℔ und 5 ℔ in ihren Schwerpunkten D und E befestigt, so bleibt alles im Gleichgewichte und die Unterlage trägt in der Mitte C die ganze Last des Hebels P + Q = 8 ℔ = R. Diese 8 ℔ binde man mit einem Faden an das Ende N eines gleicharmigen Hebels M N und den Punkt C an M, so wird der Faden C M mit einer gleichen Kraft R = P + Q = 8 ℔ in die Höhe gezogen. Es werden also nicht nur die Gewichte P und Q um den Unterstützungspunkt C im Gleichgewichte seyn, son- dern auch die Zugkraft R in C den beiden Gewichten P und Q das Gleichgewicht halten und da sich in unserem Falle [FORMEL] [FORMEL] und auf gleiche Art R : P oder 8 : 3 = H G : H B = [FORMEL] [FORMEL] verhält, so folgt hieraus der allgemeine Satz, dass überhaupt drei an einem Hebel angebrachte Kräfte P, Q und R (oder P + Q) einander das Gleichgewicht halten, wenn sich je zwei derselben verhalten, wie umgekehrt ihre Entfernungen von der dritten Kraft. Fig. 16. Tab. 1. §. 63. Wir wollen nun die Bedingnisse des Gleichgewichtes untersuchen, wenn an einem Hebel der ersten Art drei Kräfte P, Q und R angebracht sind, welche um einen gemein- schaftlichen Unterstützungspunkt einander das Gleichgewicht halten sollen. Zur Beant- wortung dieser Frage sey A O C ein mathematischer Hebel, der in O unterstützt ist; es ziehen auf der einen Seite des Unterstützungspunktes O die zwei Kräfte Q und R herab und diese sollen mit der dritten in A angebrachten Kraft P im Gleichgewichte seyn. Fig. 17. Man stelle sich die Kraft oder das Gewicht P in zwei Kräfte x und y zerlegt vor, d. h. man denke sich, es seyen statt P die zwei Gewichte x und y in A aufgehängt und von diesen Gewichten halte x das Gleichgewicht mit Q und y das Gleichgewicht mit R. Wir können demnach den Satz §. 58. vom einfachen Hebel anwenden, und erhalten die Gleichungen: x. A O = Q. B O y. A O = R. C O folglich, (x + y) A O = Q. B O + R. C O; da aber x + y = P ist, so haben wir auch P. A O = Q. B O + R. C O, d. h. das statische Moment des einen Ge- wichtes P muss der Summe der statischen Momente der beiden an dern Gewichte Q und R gleich seyn.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 80. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/110>, abgerufen am 18.11.2024.