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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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nicht in discreten Punkten, sondern auf Linien, Flächen oder
körperliche Räume nach der Stetigkeit vertheilt, so behält obige
Gleichung ihre Gültigkeit, wenn man anstatt der Summe das
entprechende Integral substituirt.

Ist also z. B. das zweite Massensystem in einer Fläche so
vertheilt, dass auf das Flächenelement d s die Masse k d s kommt,
so wird S M v = integral k V d s, oder wenn ähnliches auch von dem
ersten System gilt, so dass das Flächenelement d S die Masse
K d S enthält, wird integral K v d S = integral k V d s. Es ist von Wichtigkeit,
in Beziehung auf letztern Fall zu bemerken, dass diese Glei-
chung noch gültig bleibt, wenn beide Flächen coincidiren; der
Kürze wegen wollen wir aber die Art, wie diese Erweiterung
des Satzes strenge gerechtfertigt werden kann, hier jetzt nur
nach ihren Hauptmomenten andeuten. Es ist nemlich nicht
schwer nachzuweisen, dass diese beiden Integrale, insofern sie
sich auf Eine und dieselbe Fläche beziehen, die Grenzwerthe
von denen sind, die sich auf zwei getrennte Flächen beziehen,
indem man die Entfernung derselben von einander unendlich
abnehmen lässt, zu welchem Zweck man nur diese beiden
Flächen gleich und parallel anzunehmen braucht. Unmittelbar
einleuchtend ist zwar diese Beweisart nur in sofern, als die
vorgegebene Fläche so beschaffen ist, dass die Normalen in al-
len ihren Punkten mit Einer geraden Linie spitze Winkel
machen. Eine Fläche, wo diese Bedingung fehlt (wie allemahl,
wenn von einer geschlossenen Fläche die Rede ist), wird zu-
vor in zwei oder mehrere Theile zu zerlegen sein, die einzeln
jener Bedingung Genüge leisten, wodurch es leicht wird, die-
sen Fall auf den vorigen zurückzuführen.

20.

Wenden wir das Theorem des vorhergehenden Artikels auf
den Fall an, wo das zweite Massensystem mit gleichförmiger
Dichtigkeit k = 1 auf eine Kugelfläche vertheilt ist, deren
Halbmesser = R, so ist das daraus entspringende Potential v
im Innern der Kugel constant = 4 p R; in jedem Punkte au-
sserhalb der Kugel, dessen Entfernung vom Mittelpunkte = r,
wird v = [Formel 1] , oder eben so gross, wie im Mittelpunkte das

nicht in discreten Punkten, sondern auf Linien, Flächen oder
körperliche Räume nach der Stetigkeit vertheilt, so behält obige
Gleichung ihre Gültigkeit, wenn man anstatt der Summe das
entprechende Integral substituirt.

Ist also z. B. das zweite Massensystem in einer Fläche so
vertheilt, daſs auf das Flächenelement d s die Masse k d s kommt,
so wird Σ M v = ∫ k V d s, oder wenn ähnliches auch von dem
ersten System gilt, so daſs das Flächenelement d S die Masse
K d S enthält, wird ∫ K v d S = ∫ k V d s. Es ist von Wichtigkeit,
in Beziehung auf letztern Fall zu bemerken, daſs diese Glei-
chung noch gültig bleibt, wenn beide Flächen coincidiren; der
Kürze wegen wollen wir aber die Art, wie diese Erweiterung
des Satzes strenge gerechtfertigt werden kann, hier jetzt nur
nach ihren Hauptmomenten andeuten. Es ist nemlich nicht
schwer nachzuweisen, daſs diese beiden Integrale, insofern sie
sich auf Eine und dieselbe Fläche beziehen, die Grenzwerthe
von denen sind, die sich auf zwei getrennte Flächen beziehen,
indem man die Entfernung derselben von einander unendlich
abnehmen läſst, zu welchem Zweck man nur diese beiden
Flächen gleich und parallel anzunehmen braucht. Unmittelbar
einleuchtend ist zwar diese Beweisart nur in sofern, als die
vorgegebene Fläche so beschaffen ist, daſs die Normalen in al-
len ihren Punkten mit Einer geraden Linie spitze Winkel
machen. Eine Fläche, wo diese Bedingung fehlt (wie allemahl,
wenn von einer geschlossenen Fläche die Rede ist), wird zu-
vor in zwei oder mehrere Theile zu zerlegen sein, die einzeln
jener Bedingung Genüge leisten, wodurch es leicht wird, die-
sen Fall auf den vorigen zurückzuführen.

20.

Wenden wir das Theorem des vorhergehenden Artikels auf
den Fall an, wo das zweite Massensystem mit gleichförmiger
Dichtigkeit k = 1 auf eine Kugelfläche vertheilt ist, deren
Halbmesser = R, so ist das daraus entspringende Potential v
im Innern der Kugel constant = 4 π R; in jedem Punkte au-
ſserhalb der Kugel, dessen Entfernung vom Mittelpunkte = r,
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[29/0034] nicht in discreten Punkten, sondern auf Linien, Flächen oder körperliche Räume nach der Stetigkeit vertheilt, so behält obige Gleichung ihre Gültigkeit, wenn man anstatt der Summe das entprechende Integral substituirt. Ist also z. B. das zweite Massensystem in einer Fläche so vertheilt, daſs auf das Flächenelement d s die Masse k d s kommt, so wird Σ M v = ∫ k V d s, oder wenn ähnliches auch von dem ersten System gilt, so daſs das Flächenelement d S die Masse K d S enthält, wird ∫ K v d S = ∫ k V d s. Es ist von Wichtigkeit, in Beziehung auf letztern Fall zu bemerken, daſs diese Glei- chung noch gültig bleibt, wenn beide Flächen coincidiren; der Kürze wegen wollen wir aber die Art, wie diese Erweiterung des Satzes strenge gerechtfertigt werden kann, hier jetzt nur nach ihren Hauptmomenten andeuten. Es ist nemlich nicht schwer nachzuweisen, daſs diese beiden Integrale, insofern sie sich auf Eine und dieselbe Fläche beziehen, die Grenzwerthe von denen sind, die sich auf zwei getrennte Flächen beziehen, indem man die Entfernung derselben von einander unendlich abnehmen läſst, zu welchem Zweck man nur diese beiden Flächen gleich und parallel anzunehmen braucht. Unmittelbar einleuchtend ist zwar diese Beweisart nur in sofern, als die vorgegebene Fläche so beschaffen ist, daſs die Normalen in al- len ihren Punkten mit Einer geraden Linie spitze Winkel machen. Eine Fläche, wo diese Bedingung fehlt (wie allemahl, wenn von einer geschlossenen Fläche die Rede ist), wird zu- vor in zwei oder mehrere Theile zu zerlegen sein, die einzeln jener Bedingung Genüge leisten, wodurch es leicht wird, die- sen Fall auf den vorigen zurückzuführen. 20. Wenden wir das Theorem des vorhergehenden Artikels auf den Fall an, wo das zweite Massensystem mit gleichförmiger Dichtigkeit k = 1 auf eine Kugelfläche vertheilt ist, deren Halbmesser = R, so ist das daraus entspringende Potential v im Innern der Kugel constant = 4 π R; in jedem Punkte au- ſserhalb der Kugel, dessen Entfernung vom Mittelpunkte = r, wird v = [FORMEL], oder eben so groſs, wie im Mittelpunkte das

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 29. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/34>, abgerufen am 22.12.2024.