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Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840.

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Auch dieses Integral hat nun offenbar so lange nur einen un-
endlich kleinen Werth, als die Integration nur von 0 bis zu
einem unendlich kleinen Werthe von s ausgedehnt wird; für
jeden endlichen Werth von s hingegen erhält der Coefficient
von ds bis auf einen unendlich kleinen Unterschied einerlei
Werth, man möge x = 0 oder unendlich klein annehmen.
Dies gilt also auch von dem ganzen Integral, wenn es von
s = 0 bis [Formel 1] ausgedehnt wird.

Nur in einen einzigen Falle verlieren unsre Schlüsse ihre
Gültigkeit, wenn nemlich [Formel 2] mit keiner Potenz von r mehr
zu einerlei Ordnung gehört, wie z. B. wenn [Formel 3] von derselben
Ordnung wäre, wie [Formel 4] . In diesem Falle würde Q bei
unendlicher Annäherung des Punktes O zur Fläche über alle
Grenzen wachsen, und dasselbe würde auch für X gelten, wenn
ein solches Verhalten nicht bloss für einen oder einige Werthe
von th, sondern für alle Statt fände. Es ist jedoch unnöthig,
diess hier weiter zu entwickeln, da wir diesen singulären Fall
von unsrer Untersuchung ohne Nachtheil ganz ausschliessen
können.

17.

Wir wollen nun unter denselben Voraussetzungen und
Bezeichnungen wie im 15 Artikel, die Grösse Y betrachten,
wovon [Formel 5] ein unbestimmtes Element ist. Da
[Formel 6] , und folglich
[Formel 7] insofern c als constant betrachtet wird, so gibt die erste Inte-
gration in diesem Sinne,
[Formel 8]

Auch dieses Integral hat nun offenbar so lange nur einen un-
endlich kleinen Werth, als die Integration nur von 0 bis zu
einem unendlich kleinen Werthe von σ ausgedehnt wird; für
jeden endlichen Werth von σ hingegen erhält der Coefficient
von dσ bis auf einen unendlich kleinen Unterschied einerlei
Werth, man möge x = 0 oder unendlich klein annehmen.
Dies gilt also auch von dem ganzen Integral, wenn es von
σ = 0 bis [Formel 1] ausgedehnt wird.

Nur in einen einzigen Falle verlieren unsre Schlüsse ihre
Gültigkeit, wenn nemlich [Formel 2] mit keiner Potenz von ρ mehr
zu einerlei Ordnung gehört, wie z. B. wenn [Formel 3] von derselben
Ordnung wäre, wie [Formel 4] . In diesem Falle würde Q bei
unendlicher Annäherung des Punktes O zur Fläche über alle
Grenzen wachsen, und dasselbe würde auch für X gelten, wenn
ein solches Verhalten nicht bloſs für einen oder einige Werthe
von θ, sondern für alle Statt fände. Es ist jedoch unnöthig,
dieſs hier weiter zu entwickeln, da wir diesen singulären Fall
von unsrer Untersuchung ohne Nachtheil ganz ausschlieſsen
können.

17.

Wir wollen nun unter denselben Voraussetzungen und
Bezeichnungen wie im 15 Artikel, die Gröſse Y betrachten,
wovon [Formel 5] ein unbestimmtes Element ist. Da
[Formel 6] , und folglich
[Formel 7] insofern c als constant betrachtet wird, so gibt die erste Inte-
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[25/0030] Auch dieses Integral hat nun offenbar so lange nur einen un- endlich kleinen Werth, als die Integration nur von 0 bis zu einem unendlich kleinen Werthe von σ ausgedehnt wird; für jeden endlichen Werth von σ hingegen erhält der Coefficient von dσ bis auf einen unendlich kleinen Unterschied einerlei Werth, man möge x = 0 oder unendlich klein annehmen. Dies gilt also auch von dem ganzen Integral, wenn es von σ = 0 bis [FORMEL] ausgedehnt wird. Nur in einen einzigen Falle verlieren unsre Schlüsse ihre Gültigkeit, wenn nemlich [FORMEL] mit keiner Potenz von ρ mehr zu einerlei Ordnung gehört, wie z. B. wenn [FORMEL] von derselben Ordnung wäre, wie [FORMEL]. In diesem Falle würde Q bei unendlicher Annäherung des Punktes O zur Fläche über alle Grenzen wachsen, und dasselbe würde auch für X gelten, wenn ein solches Verhalten nicht bloſs für einen oder einige Werthe von θ, sondern für alle Statt fände. Es ist jedoch unnöthig, dieſs hier weiter zu entwickeln, da wir diesen singulären Fall von unsrer Untersuchung ohne Nachtheil ganz ausschlieſsen können. 17. Wir wollen nun unter denselben Voraussetzungen und Bezeichnungen wie im 15 Artikel, die Gröſse Y betrachten, wovon [FORMEL] ein unbestimmtes Element ist. Da [FORMEL], und folglich [FORMEL] insofern c als constant betrachtet wird, so gibt die erste Inte- gration in diesem Sinne, [FORMEL]

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Zitationshilfe: Gauß, Karl Friedrich: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnis des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. Leipzig, 1840, S. 25. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gauss_lehrsaetze_1840/30>, abgerufen am 22.12.2024.