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Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Bd. 2. St. Petersburg, 1770.

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Zweyter Abschnitt
aus findet man n = 2 und sqrt (2nn + 1) = 3. Wä-
re dieses letztere nicht so gleich in die Augen gefallen, so
hätte man weiter fortgehen können, und da sqrt (2pp - 1)
größer als p und dahero n größer als 2p, so setze man
n = 2p + q, da dann wird 2p + q = p + sqrt (2pp - 1)
oder p + q = sqrt (2pp - 1), hievon die Quadrate ge-
nommen, kommt pp + 2pq + qq = 2pp - 1 oder
pp = 2pq + qq + 1 und daraus wird p = q
+ sqrt (2qq + 1), also muß 2qq + 1 ein Quadrat
seyn, welches geschiehet wann q = 0 dahero p = 1 und
n = 2. Aus diesem Exempel kann man sich schon ei-
nen Begriff von dieser Methode machen, welcher
aber durch das folgende noch weiter aufgeklärt wird.

99.

Es sey nun a = 3, so daß die Formel 3nn + 1 ein
Quadrat werden soll. Man setze sqrt (3nn + 1) = n + p,
da wird 3nn + 1 = nn + 2np + pp und 2nn = 2np
+ pp - 1 und daraus n = : da nun
sqrt (3pp - 2) größer als p und also n größer als
oder als p, so setze man n = p + q, da wird 2p + 2q
= p + sqrt (3pp - 2) oder p + 2q = sqrt (3pp - 2):
hiervon die Quadrate genommen, wird pp + 4pq
+ 4qq = 3pp - 2 oder 2pp = 4pq + 4qq + 2,

das

Zweyter Abſchnitt
aus findet man n = 2 und √ (2nn + 1) = 3. Waͤ-
re dieſes letztere nicht ſo gleich in die Augen gefallen, ſo
haͤtte man weiter fortgehen koͤnnen, und da √ (2pp - 1)
groͤßer als p und dahero n groͤßer als 2p, ſo ſetze man
n = 2p + q, da dann wird 2p + q = p + √ (2pp - 1)
oder p + q = √ (2pp - 1), hievon die Quadrate ge-
nommen, kommt pp + 2pq + qq = 2pp - 1 oder
pp = 2pq + qq + 1 und daraus wird p = q
+ √ (2qq + 1), alſo muß 2qq + 1 ein Quadrat
ſeyn, welches geſchiehet wann q = 0 dahero p = 1 und
n = 2. Aus dieſem Exempel kann man ſich ſchon ei-
nen Begriff von dieſer Methode machen, welcher
aber durch das folgende noch weiter aufgeklaͤrt wird.

99.

Es ſey nun a = 3, ſo daß die Formel 3nn + 1 ein
Quadrat werden ſoll. Man ſetze √ (3nn + 1) = n + p,
da wird 3nn + 1 = nn + 2np + pp und 2nn = 2np
+ pp - 1 und daraus n = : da nun
√ (3pp - 2) groͤßer als p und alſo n groͤßer als
oder als p, ſo ſetze man n = p + q, da wird 2p + 2q
= p + √ (3pp - 2) oder p + 2q = √ (3pp - 2):
hiervon die Quadrate genommen, wird pp + 4pq
+ 4qq = 3pp - 2 oder 2pp = 4pq + 4qq + 2,

das
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[316/0318] Zweyter Abſchnitt aus findet man n = 2 und √ (2nn + 1) = 3. Waͤ- re dieſes letztere nicht ſo gleich in die Augen gefallen, ſo haͤtte man weiter fortgehen koͤnnen, und da √ (2pp - 1) groͤßer als p und dahero n groͤßer als 2p, ſo ſetze man n = 2p + q, da dann wird 2p + q = p + √ (2pp - 1) oder p + q = √ (2pp - 1), hievon die Quadrate ge- nommen, kommt pp + 2pq + qq = 2pp - 1 oder pp = 2pq + qq + 1 und daraus wird p = q + √ (2qq + 1), alſo muß 2qq + 1 ein Quadrat ſeyn, welches geſchiehet wann q = 0 dahero p = 1 und n = 2. Aus dieſem Exempel kann man ſich ſchon ei- nen Begriff von dieſer Methode machen, welcher aber durch das folgende noch weiter aufgeklaͤrt wird. 99. Es ſey nun a = 3, ſo daß die Formel 3nn + 1 ein Quadrat werden ſoll. Man ſetze √ (3nn + 1) = n + p, da wird 3nn + 1 = nn + 2np + pp und 2nn = 2np + pp - 1 und daraus n = [FORMEL]: da nun √ (3pp - 2) groͤßer als p und alſo n groͤßer als [FORMEL] oder als p, ſo ſetze man n = p + q, da wird 2p + 2q = p + √ (3pp - 2) oder p + 2q = √ (3pp - 2): hiervon die Quadrate genommen, wird pp + 4pq + 4qq = 3pp - 2 oder 2pp = 4pq + 4qq + 2, das

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Zitationshilfe: Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Bd. 2. St. Petersburg, 1770, S. 316. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/euler_algebra02_1770/318>, abgerufen am 21.12.2024.