Könnte man in einem jeglichen andern Fall die drey Factores einer solchen Gleichung anzeigen, so hätte man so gleich die drey Wurzeln derselben. Wir wollen zu diesem Ende drey solche Factores auf eine allgemeine Art betrachten, welche seyn sollen x - p, x - q, x - r: man suche demnach ihr Product, und da der erste mit dem zweyten multiplicirt giebt xx - (p + q) x + pq, so giebt dieses Product noch mit x - r mul- tiplicirt folgende Formel x3 - (p + q + r) xx + (pq + pr + qr) x - pqr. Soll nun diese Formel gleich o seyn, so geschieht dieses in drey Fällen; erstlich wann x - p = 0 oder x = p, zweytens wann x - q = 0 oder x = q und drittens wann x - r = 0 oder x = r.
160.
Es sey nun diese Gleichung folgender Gestalt ausgedrückt x3 - axx + bx - c = 0, und wann die Wurzeln derselben sind I.) x = p, II.) x = q, III.) x = r, so muß seyn erstlich a = p + q + r, und hernach zweytens b = pq + pr + qr und drit- tens c = pqr, woraus wir sehen, daß das zweyte Glied die Summe der drey Wurzeln enthält, das dritte Glied die Summe der Producte aus je zwey Wurzeln
und
J 3
Von den Algebraiſchen Gleichungen.
159.
Koͤnnte man in einem jeglichen andern Fall die drey Factores einer ſolchen Gleichung anzeigen, ſo haͤtte man ſo gleich die drey Wurzeln derſelben. Wir wollen zu dieſem Ende drey ſolche Factores auf eine allgemeine Art betrachten, welche ſeyn ſollen x - p, x - q, x - r: man ſuche demnach ihr Product, und da der erſte mit dem zweyten multiplicirt giebt xx - (p + q) x + pq, ſo giebt dieſes Product noch mit x - r mul- tiplicirt folgende Formel x3 - (p + q + r) xx + (pq + pr + qr) x - pqr. Soll nun dieſe Formel gleich o ſeyn, ſo geſchieht dieſes in drey Faͤllen; erſtlich wann x - p = 0 oder x = p, zweytens wann x - q = 0 oder x = q und drittens wann x - r = 0 oder x = r.
160.
Es ſey nun dieſe Gleichung folgender Geſtalt ausgedruͤckt x3 - axx + bx - c = 0, und wann die Wurzeln derſelben ſind I.) x = p, II.) x = q, III.) x = r, ſo muß ſeyn erſtlich a = p + q + r, und hernach zweytens b = pq + pr + qr und drit- tens c = pqr, woraus wir ſehen, daß das zweyte Glied die Summe der drey Wurzeln enthaͤlt, das dritte Glied die Summe der Producte aus je zwey Wurzeln
und
J 3
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Von den Algebraiſchen Gleichungen.
159.
Koͤnnte man in einem jeglichen andern Fall die
drey Factores einer ſolchen Gleichung anzeigen, ſo haͤtte
man ſo gleich die drey Wurzeln derſelben. Wir wollen
zu dieſem Ende drey ſolche Factores auf eine allgemeine
Art betrachten, welche ſeyn ſollen x - p, x - q, x - r:
man ſuche demnach ihr Product, und da der erſte
mit dem zweyten multiplicirt giebt xx - (p + q) x
+ pq, ſo giebt dieſes Product noch mit x - r mul-
tiplicirt folgende Formel x3 - (p + q + r) xx +
(pq + pr + qr) x - pqr. Soll nun dieſe Formel
gleich o ſeyn, ſo geſchieht dieſes in drey Faͤllen; erſtlich
wann x - p = 0 oder x = p, zweytens wann x - q
= 0 oder x = q und drittens wann x - r = 0 oder
x = r.
160.
Es ſey nun dieſe Gleichung folgender Geſtalt
ausgedruͤckt x3 - axx + bx - c = 0, und wann
die Wurzeln derſelben ſind I.) x = p, II.) x = q,
III.) x = r, ſo muß ſeyn erſtlich a = p + q + r,
und hernach zweytens b = pq + pr + qr und drit-
tens c = pqr, woraus wir ſehen, daß das zweyte
Glied die Summe der drey Wurzeln enthaͤlt, das dritte
Glied die Summe der Producte aus je zwey Wurzeln
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Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Bd. 2. St. Petersburg, 1770, S. 133. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/euler_algebra02_1770/135>, abgerufen am 21.12.2024.
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