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Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.

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[Gleich. 3] § 3. Zahl der Stösse. § 4. Ausdehnung der Moleküle.
also vom Volumen O d h und man sieht leicht, dass genau die-
jenigen Moleküle der hervorgehobenen Art während der Zeit d t
auf die Ebene D E stossen, deren Mittelpunkte zu Anfang des
Zeitmomentes d t im schiefen Cylinder g lagen.

§ 4. Berücksichtigung der Ausdehnung der Moleküle
bei der Stosszahl.

Um die Anzahl d z dieser letzteren Moleküle zu finden,
bestimmen wir zuerst ganz allgemein die Wahrscheinlichkeit,
dass bei einer bestimmten gegebenen Lage der übrigen Mole-
küle der Mittelpunkt eines bestimmten gegebenen Moleküls
innerhalb des Cylinders g liegt. Das gegebene Molekül kann
von dem Mittelpunkte keines der übrigen n -- 1 Moleküle eine
Entfernung haben, die kleiner als s ist. Den für den Mittel-
punkt unseres Moleküles bei gegebener Lage der übrigen
Moleküle im ganzen Gefässe überhaupt verfügbaren Raum
finden wir daher folgendermaassen: Wir construiren um den
Mittelpunkt jedes der n -- 1 anderen Moleküle eine Kugel vom
Radius s, welche wir die Deckungssphäre dieses Moleküls
nennen wollen. Ihr Volumen ist das achtfache von dem
Volumen des als elastische Kugel gedachten Moleküles selbst.
Das gesammte Volumen 4 p (n -- 1) s3/3 aller dieser n -- 1
Deckungssphären ziehen wir vom Gesammtvolumen V des
Gases ab, wobei auch n für n -- 1 geschrieben werden kann,
da n eine sehr grosse Zahl ist.

Um nun d z zu finden, vergleichen wir diesen Raum
V -- 4 p n s3 / 3, welcher für den Mittelpunkt des bestimmten
gegebenen Moleküls im ganzen Gefässe zur Verfügung steht,
mit dem Raume, der dafür im Cylinder g zur Verfügung steht.
Den letzteren finden wir, wenn wir von dem ganzen Volumen
O d h des Cylinders g wieder das Volumen derjenigen Theile
desselben abziehen, welche innerhalb der Deckungssphäre
irgend eines der n -- 1 übrigen Moleküle liegen. Die Deckungs-
sphären dieser n -- 1 Moleküle werden offenbar durchschnitt-
lich gleichförmig im ganzen Volumen V des das Gas ent-
haltenden Gefässes vertheilt sein, mit Ausnahme der der Wand
sehr naheliegenden Partien im Gefässe. Wenn sich daher der
Cylinder g irgendwie mitten im Innern des Gefässes befände,
so würde derjenige Theil A des Gesammtvolumens 4 p n s3 / 3

[Gleich. 3] § 3. Zahl der Stösse. § 4. Ausdehnung der Moleküle.
also vom Volumen Ω d h und man sieht leicht, dass genau die-
jenigen Moleküle der hervorgehobenen Art während der Zeit d t
auf die Ebene D E stossen, deren Mittelpunkte zu Anfang des
Zeitmomentes d t im schiefen Cylinder γ lagen.

§ 4. Berücksichtigung der Ausdehnung der Moleküle
bei der Stosszahl.

Um die Anzahl d z dieser letzteren Moleküle zu finden,
bestimmen wir zuerst ganz allgemein die Wahrscheinlichkeit,
dass bei einer bestimmten gegebenen Lage der übrigen Mole-
küle der Mittelpunkt eines bestimmten gegebenen Moleküls
innerhalb des Cylinders γ liegt. Das gegebene Molekül kann
von dem Mittelpunkte keines der übrigen n — 1 Moleküle eine
Entfernung haben, die kleiner als σ ist. Den für den Mittel-
punkt unseres Moleküles bei gegebener Lage der übrigen
Moleküle im ganzen Gefässe überhaupt verfügbaren Raum
finden wir daher folgendermaassen: Wir construiren um den
Mittelpunkt jedes der n — 1 anderen Moleküle eine Kugel vom
Radius σ, welche wir die Deckungssphäre dieses Moleküls
nennen wollen. Ihr Volumen ist das achtfache von dem
Volumen des als elastische Kugel gedachten Moleküles selbst.
Das gesammte Volumen 4 π (n — 1) σ3/3 aller dieser n — 1
Deckungssphären ziehen wir vom Gesammtvolumen V des
Gases ab, wobei auch n für n — 1 geschrieben werden kann,
da n eine sehr grosse Zahl ist.

Um nun d z zu finden, vergleichen wir diesen Raum
V — 4 π n σ3 / 3, welcher für den Mittelpunkt des bestimmten
gegebenen Moleküls im ganzen Gefässe zur Verfügung steht,
mit dem Raume, der dafür im Cylinder γ zur Verfügung steht.
Den letzteren finden wir, wenn wir von dem ganzen Volumen
Ω d h des Cylinders γ wieder das Volumen derjenigen Theile
desselben abziehen, welche innerhalb der Deckungssphäre
irgend eines der n — 1 übrigen Moleküle liegen. Die Deckungs-
sphären dieser n — 1 Moleküle werden offenbar durchschnitt-
lich gleichförmig im ganzen Volumen V des das Gas ent-
haltenden Gefässes vertheilt sein, mit Ausnahme der der Wand
sehr naheliegenden Partien im Gefässe. Wenn sich daher der
Cylinder γ irgendwie mitten im Innern des Gefässes befände,
so würde derjenige Theil A des Gesammtvolumens 4 π n σ3 / 3

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[7/0025] [Gleich. 3] § 3. Zahl der Stösse. § 4. Ausdehnung der Moleküle. also vom Volumen Ω d h und man sieht leicht, dass genau die- jenigen Moleküle der hervorgehobenen Art während der Zeit d t auf die Ebene D E stossen, deren Mittelpunkte zu Anfang des Zeitmomentes d t im schiefen Cylinder γ lagen. § 4. Berücksichtigung der Ausdehnung der Moleküle bei der Stosszahl. Um die Anzahl d z dieser letzteren Moleküle zu finden, bestimmen wir zuerst ganz allgemein die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer bestimmten gegebenen Lage der übrigen Mole- küle der Mittelpunkt eines bestimmten gegebenen Moleküls innerhalb des Cylinders γ liegt. Das gegebene Molekül kann von dem Mittelpunkte keines der übrigen n — 1 Moleküle eine Entfernung haben, die kleiner als σ ist. Den für den Mittel- punkt unseres Moleküles bei gegebener Lage der übrigen Moleküle im ganzen Gefässe überhaupt verfügbaren Raum finden wir daher folgendermaassen: Wir construiren um den Mittelpunkt jedes der n — 1 anderen Moleküle eine Kugel vom Radius σ, welche wir die Deckungssphäre dieses Moleküls nennen wollen. Ihr Volumen ist das achtfache von dem Volumen des als elastische Kugel gedachten Moleküles selbst. Das gesammte Volumen 4 π (n — 1) σ3/3 aller dieser n — 1 Deckungssphären ziehen wir vom Gesammtvolumen V des Gases ab, wobei auch n für n — 1 geschrieben werden kann, da n eine sehr grosse Zahl ist. Um nun d z zu finden, vergleichen wir diesen Raum V — 4 π n σ3 / 3, welcher für den Mittelpunkt des bestimmten gegebenen Moleküls im ganzen Gefässe zur Verfügung steht, mit dem Raume, der dafür im Cylinder γ zur Verfügung steht. Den letzteren finden wir, wenn wir von dem ganzen Volumen Ω d h des Cylinders γ wieder das Volumen derjenigen Theile desselben abziehen, welche innerhalb der Deckungssphäre irgend eines der n — 1 übrigen Moleküle liegen. Die Deckungs- sphären dieser n — 1 Moleküle werden offenbar durchschnitt- lich gleichförmig im ganzen Volumen V des das Gas ent- haltenden Gefässes vertheilt sein, mit Ausnahme der der Wand sehr naheliegenden Partien im Gefässe. Wenn sich daher der Cylinder γ irgendwie mitten im Innern des Gefässes befände, so würde derjenige Theil A des Gesammtvolumens 4 π n σ3 / 3

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Zitationshilfe: Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898, S. 7. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/25>, abgerufen am 22.12.2024.