Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 1. Leipzig, 1896.

[Gleich. 118] § 17. Ueber alle Moleküle erstreckte Summen.

115) [Formel 1]

Dabei ist analog mit unseren sonstigen Abkürzungen F'
für F (x, y, z, ξ', η', ζ', t) gesetzt.

§ 17. Differentialquotienten nach der Zeit von über
alle Moleküle eines Bezirkes erstreckten Summen.

Ehe wir weiter gehen, wollen wir einige allgemeine, für
die Gastheorie nützliche Formeln entwickeln. Sei φ eine ganz
beliebige Function von x, y, z, ξ, η, ζ, t. Den Werth, welchen
wir erhalten, wenn wir darin für x, y, z, ξ, η, ζ die Coordinaten
und Geschwindigkeitscomponenten irgend eines Moleküls zur
Zeit t substituiren, wollen wir als den Werth des φ bezeichnen,
welcher jenem Moleküle zur Zeit t entspricht. Die Summe
aller Werthe des φ, welche allen Molekülen m entsprechen,
die zur Zeit t im Parallelepipede d o und deren Geschwindig-
keitspunkte im Parallelepipede d ω liegen, erhalten wir, indem
wir φ mit der Anzahl f d o d ω jener Moleküle multipliciren.
Wir bezeichnen sie mit
116) Σ _{d ω, d o} φ = φ f d o d ω.

Analog wählen wir auch für die zweite Gasart eine be-
liebige andere Function Φ von x, y, z, ξ, η, ζ, t und bezeich-
nen mit
117) [Formel 2]
die Summe der Werthe von Φ, welche allen in d o liegenden
Molekülen m₁, deren Geschwindigkeitspunkt in d ω₁ liegt, ent-
sprechen. Φ₁ ist die Abkürzung für Φ (x, y, z, ξ₁, η₁, ζ₁, t).

Lassen wir in diesen Ausdrücken d o constant und in-
tegriren bezüglich d ω, resp. d ω₁ über alle möglichen Werthe,
so erhalten wir die Ausdrücke:
118) Σ_{ω, d o} φ = d o ∫ φ f d ω und [Formel 3] ,

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