eindeutig bestimmt, also x konstant, unabhängig von u, sein werde?, u. a. m. Wir werden deshalb noch ein paarmal auf das Problem zurückzukommen haben. --
§ 20. Vorübergehend "Transoperationen" genannte Knüpfungen und deren Inversionsprobleme. Quaderrelative.
Eine wichtige aber schwere Frage ist die nach der Vollständigkeit unsrer Algebra der binären Relative, nämlich die Frage: ob diese Disziplin mit ihren sechs Spezies für alle Zwecke der reinen und angewandten Theorie (insbesondre auch der Logik binärer Relativbegriffe) notwendig ausreicht?
Wir hoffen dieser Frage später noch näher zu treten, uns hier be- gnügend, mit einer kleinen Episode zu derselben zunächst einmal blos ein Scherflein beizusteuern.
Beim ersten Blick auf die Definitionen (12) S. 29 der beiden relativen Knüpfungen vermittelst des allgemeinen Koeffizienten ihres Erzeugnisses nimmt man wahr, dass sich durch blosse Vertauschung der Zeichen S und P in ihnen zwei neue und eigenartige Knüpfungs- weisen ergeben müssen. Hätte man nicht vielleicht nötig gehabt, auch diese beiden -- sagen wir (vorübergehend): als zwei "Transoperationen" -- nämlich als eine
"Transmultiplikation
"Transaddition"*)
zu definiren mittelst der Festsetzung: 1)
(ab)i j = Phai hbh j
(ab)i j = Sh(ai h + bh j)
und somit noch die Ausdrücke:
ab sprich a "ab" b
ab sprich a "auf" b
unsrer Theorie als Erzeugniss zweier weitern "Spezies" einzuverleiben?
Diese spezielle Frage wenigstens ist zu verneinen.
Nach bekannten Festsetzungen und Schemata des Aussagenkalkuls kann man nämlich zerlegen und wieder vereinigen:
(ab)i j = Phai hPhbh j =
(ab)i j = Shai h + Shbh j =
= Ph(ai h + 0h j)Ph(0i h + bh j) =
= Shai h1h j + Sh1i hbh j =
= (a j 0)i j(0 j b)i j =
= (a ; 1)i j + (1 ; b)i j =
= {a j 0)(0 j b)}i j
= (a ; 1 + 1 ; b)i j
woraus hervorgeht, dass die Relative 2)
ab = (a j 0)(0 j b)
ab = a ; 1 + 1 ; b
als durch die bisherigen 6 Spezies schon hinreichend einfach ausdrück-
*) In 5 p. 52 gebraucht Peirce diesen Namen in einem ganz andern, mit Recht von ihm wieder fallen gelassenen Sinne.
Siebente Vorlesung.
eindeutig bestimmt, also x konstant, unabhängig von u, sein werde?, u. a. m. Wir werden deshalb noch ein paarmal auf das Problem zurückzukommen haben. —
§ 20. Vorübergehend „Transoperationen“ genannte Knüpfungen und deren Inversionsprobleme. Quaderrelative.
Eine wichtige aber schwere Frage ist die nach der Vollständigkeit unsrer Algebra der binären Relative, nämlich die Frage: ob diese Disziplin mit ihren sechs Spezies für alle Zwecke der reinen und angewandten Theorie (insbesondre auch der Logik binärer Relativbegriffe) notwendig ausreicht?
Wir hoffen dieser Frage später noch näher zu treten, uns hier be- gnügend, mit einer kleinen Episode zu derselben zunächst einmal blos ein Scherflein beizusteuern.
Beim ersten Blick auf die Definitionen (12) S. 29 der beiden relativen Knüpfungen vermittelst des allgemeinen Koeffizienten ihres Erzeugnisses nimmt man wahr, dass sich durch blosse Vertauschung der Zeichen Σ und Π in ihnen zwei neue und eigenartige Knüpfungs- weisen ergeben müssen. Hätte man nicht vielleicht nötig gehabt, auch diese beiden — sagen wir (vorübergehend): als zwei „Transoperationen“ — nämlich als eine
„Transmultiplikation
„Transaddition“*)
zu definiren mittelst der Festsetzung: 1)
(a ⌢ b)i j = Πhai hbh j
(a ⌣ b)i j = Σh(ai h + bh j)
und somit noch die Ausdrücke:
a ⌢ b sprich a „ab“ b
a ⌣ b sprich a „auf“ b
unsrer Theorie als Erzeugniss zweier weitern „Spezies“ einzuverleiben?
Diese spezielle Frage wenigstens ist zu verneinen.
Nach bekannten Festsetzungen und Schemata des Aussagenkalkuls kann man nämlich zerlegen und wieder vereinigen:
(a ⌢ b)i j = Πhai hΠhbh j =
(a ⌣ b)i j = Σhai h + Σhbh j =
= Πh(ai h + 0h j)Πh(0i h + bh j) =
= Σhai h1h j + Σh1i hbh j =
= (a ɟ 0)i j(0 ɟ b)i j =
= (a ; 1)i j + (1 ; b)i j =
= {a ɟ 0)(0 ɟ b)}i j
= (a ; 1 + 1 ; b)i j
woraus hervorgeht, dass die Relative 2)
a ⌢ b = (a ɟ 0)(0 ɟ b)
a ⌣ b = a ; 1 + 1 ; b
als durch die bisherigen 6 Spezies schon hinreichend einfach ausdrück-
*) In 5 p. 52 gebraucht Peirce diesen Namen in einem ganz andern, mit Recht von ihm wieder fallen gelassenen Sinne.
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Siebente Vorlesung.
eindeutig bestimmt, also x konstant, unabhängig von u, sein werde?,
u. a. m. Wir werden deshalb noch ein paarmal auf das Problem
zurückzukommen haben. —
§ 20. Vorübergehend „Transoperationen“ genannte Knüpfungen
und deren Inversionsprobleme. Quaderrelative.
Eine wichtige aber schwere Frage ist die nach der Vollständigkeit
unsrer Algebra der binären Relative, nämlich die Frage: ob diese Disziplin
mit ihren sechs Spezies für alle Zwecke der reinen und angewandten Theorie
(insbesondre auch der Logik binärer Relativbegriffe) notwendig ausreicht?
Wir hoffen dieser Frage später noch näher zu treten, uns hier be-
gnügend, mit einer kleinen Episode zu derselben zunächst einmal blos ein
Scherflein beizusteuern.
Beim ersten Blick auf die Definitionen (12) S. 29 der beiden
relativen Knüpfungen vermittelst des allgemeinen Koeffizienten ihres
Erzeugnisses nimmt man wahr, dass sich durch blosse Vertauschung
der Zeichen Σ und Π in ihnen zwei neue und eigenartige Knüpfungs-
weisen ergeben müssen. Hätte man nicht vielleicht nötig gehabt, auch
diese beiden — sagen wir (vorübergehend): als zwei „Transoperationen“
— nämlich als eine
„Transmultiplikation „Transaddition“ *)
zu definiren mittelst der Festsetzung:
1) (a ⌢ b)i j = Πhai hbh j (a ⌣ b)i j = Σh(ai h + bh j)
und somit noch die Ausdrücke:
a ⌢ b sprich a „ab“ b a ⌣ b sprich a „auf“ b
unsrer Theorie als Erzeugniss zweier weitern „Spezies“ einzuverleiben?
Diese spezielle Frage wenigstens ist zu verneinen.
Nach bekannten Festsetzungen und Schemata des Aussagenkalkuls
kann man nämlich zerlegen und wieder vereinigen:
(a ⌢ b)i j = Πhai hΠhbh j = (a ⌣ b)i j = Σhai h + Σhbh j =
= Πh(ai h + 0h j)Πh(0i h + bh j) = = Σhai h1h j + Σh1i hbh j =
= (a ɟ 0)i j(0 ɟ b)i j = = (a ; 1)i j + (1 ; b)i j =
= {a ɟ 0)(0 ɟ b)}i j = (a ; 1 + 1 ; b)i j
woraus hervorgeht, dass die Relative
2) a ⌢ b = (a ɟ 0)(0 ɟ b) a ⌣ b = a ; 1 + 1 ; b
als durch die bisherigen 6 Spezies schon hinreichend einfach ausdrück-
*) In 5 p. 52 gebraucht Peirce diesen Namen in einem ganz andern, mit
Recht von ihm wieder fallen gelassenen Sinne.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 278. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/292>, abgerufen am 21.11.2024.
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