§ 36. Reduktion sämtlicher Beziehungen auf den Typus der Gleichung und ihrer Negation (der Ungleichung).
Es lassen sich in Bezug auf unsre zahlreichen Beziehungen manche Fragen aufwerfen und viele Probleme stellen. Um jedoch nicht jetzt schon in einer Menge von (vielleicht nicht uninteressanten) Spezial- untersuchungen uns zu verlieren, und um ferner das Wichtigere ge- bührend hervortreten zu lassen vor dem minder Wichtigen, streben wir zunächst einmal mit ersterm einem Abschluss zu. Solchen zu ge- winnen, suchen wir sämtliche Beziehungen auf einen gemeinsamen Typus zurückzuführen.
Dies gelingt, indem wir sie samt und sonders blos durch Gleichungen und Ungleichungen ausdrücken, das ist durch bejahte oder verneinte Gleichungen.
Auf mannigfache Weise haben wir gelernt, eine jede Subsumtion umzuschreiben in eine Gleichung, z. B. es war: {AB} = {A B = A} = {A + B = B} = {A B1 = 0}.
Nach § 18, r) konnte auch umgekehrt jede Gleichung verwandelt werden in eine Subsumtion nach dem Schema: {A = B} = {A + BA B}.
Aus diesen Aussagenäquivalenzen folgt durch beiderseitiges Ne- giren gemäss Th. 32), dass auch jede Verneinung einer Subsumtion sich schreiben lassen wird als eine Ungleichung, und jede Ungleichung als verneinte Subsumtion; es muss z. B. sein: {AB} = {A BA} = {A B1 0}, {AB} = {A + BA B}.
Jedes Problem, dessen Einkleidung in die Zeichensprache möglich war vermittelst Subsumtionen und Gleichungen, musste demnach sich auch in Formeln kleiden lassen, wenn man ausschliesslich nur von einem der beiden zugehörigen Beziehungszeichen Gebrauch machen darf;
Achtzehnte Vorlesung.
§ 36. Reduktion sämtlicher Beziehungen auf den Typus der Gleichung und ihrer Negation (der Ungleichung).
Es lassen sich in Bezug auf unsre zahlreichen Beziehungen manche Fragen aufwerfen und viele Probleme stellen. Um jedoch nicht jetzt schon in einer Menge von (vielleicht nicht uninteressanten) Spezial- untersuchungen uns zu verlieren, und um ferner das Wichtigere ge- bührend hervortreten zu lassen vor dem minder Wichtigen, streben wir zunächst einmal mit ersterm einem Abschluss zu. Solchen zu ge- winnen, suchen wir sämtliche Beziehungen auf einen gemeinsamen Typus zurückzuführen.
Dies gelingt, indem wir sie samt und sonders blos durch Gleichungen und Ungleichungen ausdrücken, das ist durch bejahte oder verneinte Gleichungen.
Auf mannigfache Weise haben wir gelernt, eine jede Subsumtion umzuschreiben in eine Gleichung, z. B. es war: {A⊆B} = {A B = A} = {A + B = B} = {A B1 = 0}.
Nach § 18, ϱ) konnte auch umgekehrt jede Gleichung verwandelt werden in eine Subsumtion nach dem Schema: {A = B} = {A + B⊆A B}.
Aus diesen Aussagenäquivalenzen folgt durch beiderseitiges Ne- giren gemäss Th. 3̅2̅), dass auch jede Verneinung einer Subsumtion sich schreiben lassen wird als eine Ungleichung, und jede Ungleichung als verneinte Subsumtion; es muss z. B. sein: {A⊆B} = {A B ≠ A} = {A B1 ≠ 0}, {A ≠ B} = {A + B⊆A B}.
Jedes Problem, dessen Einkleidung in die Zeichensprache möglich war vermittelst Subsumtionen und Gleichungen, musste demnach sich auch in Formeln kleiden lassen, wenn man ausschliesslich nur von einem der beiden zugehörigen Beziehungszeichen Gebrauch machen darf;
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[[118]/0142]
Achtzehnte Vorlesung.
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und ihrer Negation (der Ungleichung).
Es lassen sich in Bezug auf unsre zahlreichen Beziehungen manche
Fragen aufwerfen und viele Probleme stellen. Um jedoch nicht jetzt
schon in einer Menge von (vielleicht nicht uninteressanten) Spezial-
untersuchungen uns zu verlieren, und um ferner das Wichtigere ge-
bührend hervortreten zu lassen vor dem minder Wichtigen, streben
wir zunächst einmal mit ersterm einem Abschluss zu. Solchen zu ge-
winnen, suchen wir sämtliche Beziehungen auf einen gemeinsamen Typus
zurückzuführen.
Dies gelingt, indem wir sie samt und sonders blos durch Gleichungen
und Ungleichungen ausdrücken, das ist durch bejahte oder verneinte
Gleichungen.
Auf mannigfache Weise haben wir gelernt, eine jede Subsumtion
umzuschreiben in eine Gleichung, z. B. es war:
{A  B} = {A B = A} = {A + B = B} = {A B1 = 0}.
Nach § 18, ϱ) konnte auch umgekehrt jede Gleichung verwandelt
werden in eine Subsumtion nach dem Schema:
{A = B} = {A + B  A B}.
Aus diesen Aussagenäquivalenzen folgt durch beiderseitiges Ne-
giren gemäss Th. 3̅2̅), dass auch jede Verneinung einer Subsumtion
sich schreiben lassen wird als eine Ungleichung, und jede Ungleichung
als verneinte Subsumtion; es muss z. B. sein:
{A  B} = {A B ≠ A} = {A B1 ≠ 0}, {A ≠ B} = {A + B  A B}.
Jedes Problem, dessen Einkleidung in die Zeichensprache möglich
war vermittelst Subsumtionen und Gleichungen, musste demnach sich
auch in Formeln kleiden lassen, wenn man ausschliesslich nur von
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. [118]. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/142>, abgerufen am 03.03.2025.
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