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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Anhang 5.
Der Hauptbeleg.

"Beleg 5" (cf. ibid.). Man bemerke, dass der obige Algorith-
mus C00 mit den beiden vorhergegangenen Algorithmen A1 sowol als C1
überhaupt keine dem Gebiet U angehörigen Formeln gemein hat, dass
also hierselbst:
A1 · C00 = 0 und C1 · C00 = 0
ist. Darnach haben wir auch:
A1 · C00 + C1 · C00 = 0 + 0 = 0.
Im Gegensatz dazu ist aber:
(A1 + C1) · C00 = O1 · C00 = E1
nach dem unter O1 und C00 Gesagten.

Eine Unterordnung:
(A1 + C1) · C00 A1 · C00 + C1 · C00
ist folglich hier unmöglich. Denn diese, nämlich E1 = 0, müsste wegen
der ohnehin gültigen Subsumtion 0 E1 -- cf. Def. (2x) -- nach der
Definition (1) der Gleichheit auf E1 = 0 hinauslaufen, während doch E1
von 0 verschieden ist.

Da nun 0 E1 stetsfort in Geltung bleibt, während, wie gesagt,
die Gleichheit 0 = E1 ausgeschlossen ist, so bleibt nur die andere
Alternative: 0 E1 übrig, d. h. wir haben hier:
A1 · C00 + C1 · C00 (A1 + C1) · C00
und zwar definitiv untergeordnet, , aber nicht gleich, =.

Dieses Ergebniss findet sich im Einklang mit der anderweitig be-

[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 33.
reits erkannten Thatsache, dass die erste
Subsumtion des Distributionsgesetzes not-
wendig gilt.

Der Sachverhalt wird -- in Anbe-
tracht, dass auch A1 und C1 innerhalb U
keine Formel gemein haben -- versinn-
licht durch die Fig. 33, bei der wir auch
die Zahl der Formeln jeweils in die Ge-
biete eingetragen haben.

Ein zweites Beispiel, wo wirklich Unter-
ordnung eintritt, würde im Anschluss an
das vorstehende erste erhalten, indem man den Algorithmus C00 ersetzte
durch das ebenfalls als ein Algorithmus:
E0 = E1 + E2 + E3
nachweisbare Formelsystem seines dritten Sternecks, und ein drittes

Anhang 5.
Der Hauptbeleg.

„Beleg 5“ (cf. ibid.). Man bemerke, dass der obige Algorith-
mus C00 mit den beiden vorhergegangenen Algorithmen A1 sowol als C1
überhaupt keine dem Gebiet U angehörigen Formeln gemein hat, dass
also hierselbst:
A1 · C00 = 0 und C1 · C00 = 0
ist. Darnach haben wir auch:
A1 · C00 + C1 · C00 = 0 + 0 = 0.
Im Gegensatz dazu ist aber:
(A1 + C1) · C00 = O1 · C00 = E1
nach dem unter O1 und C00 Gesagten.

Eine Unterordnung:
(A1 + C1) · C00 ⋹ A1 · C00 + C1 · C00
ist folglich hier unmöglich. Denn diese, nämlich E1 = 0, müsste wegen
der ohnehin gültigen Subsumtion 0 ⋹ E1 — cf. Def. (2×) — nach der
Definition (1) der Gleichheit auf E1 = 0 hinauslaufen, während doch E1
von 0 verschieden ist.

Da nun 0 ⋹ E1 stetsfort in Geltung bleibt, während, wie gesagt,
die Gleichheit 0 = E1 ausgeschlossen ist, so bleibt nur die andere
Alternative: 0 ⊂ E1 übrig, d. h. wir haben hier:
A1 · C00 + C1 · C00 ⊂ (A1 + C1) · C00
und zwar definitiv untergeordnet, ⊂, aber nicht gleich, =.

Dieses Ergebniss findet sich im Einklang mit der anderweitig be-

[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 33.
reits erkannten Thatsache, dass die erste
Subsumtion des Distributionsgesetzes not-
wendig gilt.

Der Sachverhalt wird — in Anbe-
tracht, dass auch A1 und C1 innerhalb U
keine Formel gemein haben — versinn-
licht durch die Fig. 33, bei der wir auch
die Zahl der Formeln jeweils in die Ge-
biete eingetragen haben.

Ein zweites Beispiel, wo wirklich Unter-
ordnung eintritt, würde im Anschluss an
das vorstehende erste erhalten, indem man den Algorithmus C00 ersetzte
durch das ebenfalls als ein Algorithmus:
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[642/0662] Anhang 5. Der Hauptbeleg. „Beleg 5“ (cf. ibid.). Man bemerke, dass der obige Algorith- mus C00 mit den beiden vorhergegangenen Algorithmen A1 sowol als C1 überhaupt keine dem Gebiet U angehörigen Formeln gemein hat, dass also hierselbst: A1 · C00 = 0 und C1 · C00 = 0 ist. Darnach haben wir auch: A1 · C00 + C1 · C00 = 0 + 0 = 0. Im Gegensatz dazu ist aber: (A1 + C1) · C00 = O1 · C00 = E1 nach dem unter O1 und C00 Gesagten. Eine Unterordnung: (A1 + C1) · C00 ⋹ A1 · C00 + C1 · C00 ist folglich hier unmöglich. Denn diese, nämlich E1 = 0, müsste wegen der ohnehin gültigen Subsumtion 0 ⋹ E1 — cf. Def. (2×) — nach der Definition (1) der Gleichheit auf E1 = 0 hinauslaufen, während doch E1 von 0 verschieden ist. Da nun 0 ⋹ E1 stetsfort in Geltung bleibt, während, wie gesagt, die Gleichheit 0 = E1 ausgeschlossen ist, so bleibt nur die andere Alternative: 0 ⊂ E1 übrig, d. h. wir haben hier: A1 · C00 + C1 · C00 ⊂ (A1 + C1) · C00 und zwar definitiv untergeordnet, ⊂, aber nicht gleich, =. Dieses Ergebniss findet sich im Einklang mit der anderweitig be- [Abbildung] [Abbildung Fig. 33.] reits erkannten Thatsache, dass die erste Subsumtion des Distributionsgesetzes not- wendig gilt. Der Sachverhalt wird — in Anbe- tracht, dass auch A1 und C1 innerhalb U keine Formel gemein haben — versinn- licht durch die Fig. 33, bei der wir auch die Zahl der Formeln jeweils in die Ge- biete eingetragen haben. Ein zweites Beispiel, wo wirklich Unter- ordnung eintritt, würde im Anschluss an das vorstehende erste erhalten, indem man den Algorithmus C00 ersetzte durch das ebenfalls als ein Algorithmus: E0 = E1 + E2 + E3 nachweisbare Formelsystem seines dritten Sternecks, und ein drittes

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 642. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/662>, abgerufen am 21.11.2024.