Anhang 5. Substrat zum vorigen Anhang und Material zu dessen Belegen.
Als solches muss ich jetzt ein paar spezielle Algorithmen des Gebietes U vorstellen.
Voraus bemerke ich, dass ich den logischen Zusammenhang zwischen den 990 Formeln dieses Gebietes längst vollständig erforscht habe und denselben auch auf die einfachste Weise zu begründen vermag. Die Dar- legung dieses Zusammenhanges ist aber nicht der Endzweck der gegen- wärtigen Mitteilung. Vielmehr beabsichtige ich ja, denselben nur nebenher zu benutzen, um durch gegenteilige Beispiele darzuthun, dass gewisse Sätze im logischen Kalkul keine Geltung zu haben brauchen.
Ich kann mich daher in Bezug auf das -- unter vielen denkbaren, ebenfalls schon ziemlich von mir durchforschten Formelgebieten [vergl. (l. c.)8, § 3 und 4] willkürlich ausgewählte -- Gebiet U darauf beschränken, die meinem Hauptzweck dienlichen Thatsachen einfach anzuführen, sofern diese Thatsachen (mit mehr oder weniger Mühe) von jedermann kontrolirbar sind, und brauche ich dabei weder auf die Methoden einzugehen, durch welche sie (im Zusammenhang) am bequemsten zu beweisen wären, noch darauf, wie sie gefunden wurden.
Die Ableitung der einen Formeln aus den andern, von denen sie mit- bedingt werden, ist zudem leicht und ganz elementar zu bewerkstelligen und mag deshalb dem Leser überlassen bleiben. Nur in Bezug auf das schwierige (und hier besonders wichtige) Problem der Abgrenzung jeder Formelgruppe will ich beweiskräftige Angaben machen.
Wesentlich sind es fünf Algorithmen, mit denen wir Bekannt- schaft zu machen haben.
10) Der Algorithmus U0 selbst, bestehend aus den sämtlichen 990 Gleichungen des Formelgebietes U [vergl. (l. c.)8, § 7 sq.].
Für uns ist nur der Nachweis von Belang, dass es Funktionen gibt, die alle diese Funktionalgleichungen gleichzeitig erfüllen, dass diese also, als "Formeln" aufgefasst, miteinander verträglich sein müssen.
Der Nachweis ist zu leisten durch Angabe einer Funktion, die sie wirklich erfüllt. Eine solche wird nun für ein Zahlengebiet von vier Elementen, den Ziffern 1, 2, 3, 4, definirt (in Gestalt eines sym- bolischen Einmaleinses) vermittelst der Tafel:
Anhang 5. Substrat zum vorigen Anhang und Material zu dessen Belegen.
Als solches muss ich jetzt ein paar spezielle Algorithmen des Gebietes U vorstellen.
Voraus bemerke ich, dass ich den logischen Zusammenhang zwischen den 990 Formeln dieses Gebietes längst vollständig erforscht habe und denselben auch auf die einfachste Weise zu begründen vermag. Die Dar- legung dieses Zusammenhanges ist aber nicht der Endzweck der gegen- wärtigen Mitteilung. Vielmehr beabsichtige ich ja, denselben nur nebenher zu benutzen, um durch gegenteilige Beispiele darzuthun, dass gewisse Sätze im logischen Kalkul keine Geltung zu haben brauchen.
Ich kann mich daher in Bezug auf das — unter vielen denkbaren, ebenfalls schon ziemlich von mir durchforschten Formelgebieten [vergl. (l. c.)8, § 3 und 4] willkürlich ausgewählte — Gebiet U darauf beschränken, die meinem Hauptzweck dienlichen Thatsachen einfach anzuführen, sofern diese Thatsachen (mit mehr oder weniger Mühe) von jedermann kontrolirbar sind, und brauche ich dabei weder auf die Methoden einzugehen, durch welche sie (im Zusammenhang) am bequemsten zu beweisen wären, noch darauf, wie sie gefunden wurden.
Die Ableitung der einen Formeln aus den andern, von denen sie mit- bedingt werden, ist zudem leicht und ganz elementar zu bewerkstelligen und mag deshalb dem Leser überlassen bleiben. Nur in Bezug auf das schwierige (und hier besonders wichtige) Problem der Abgrenzung jeder Formelgruppe will ich beweiskräftige Angaben machen.
Wesentlich sind es fünf Algorithmen, mit denen wir Bekannt- schaft zu machen haben.
10) Der Algorithmus U0 selbst, bestehend aus den sämtlichen 990 Gleichungen des Formelgebietes U [vergl. (l. c.)8, § 7 sq.].
Für uns ist nur der Nachweis von Belang, dass es Funktionen gibt, die alle diese Funktionalgleichungen gleichzeitig erfüllen, dass diese also, als „Formeln“ aufgefasst, miteinander verträglich sein müssen.
Der Nachweis ist zu leisten durch Angabe einer Funktion, die sie wirklich erfüllt. Eine solche wird nun für ein Zahlengebiet von vier Elementen, den Ziffern 1, 2, 3, 4, definirt (in Gestalt eines sym- bolischen Einmaleinses) vermittelst der Tafel:
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Anhang 5.
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Voraus bemerke ich, dass ich den logischen Zusammenhang zwischen
den 990 Formeln dieses Gebietes längst vollständig erforscht habe und
denselben auch auf die einfachste Weise zu begründen vermag. Die Dar-
legung dieses Zusammenhanges ist aber nicht der Endzweck der gegen-
wärtigen Mitteilung. Vielmehr beabsichtige ich ja, denselben nur nebenher
zu benutzen, um durch gegenteilige Beispiele darzuthun, dass gewisse Sätze
im logischen Kalkul keine Geltung zu haben brauchen.
Ich kann mich daher in Bezug auf das — unter vielen denkbaren,
ebenfalls schon ziemlich von mir durchforschten Formelgebieten [vergl. (l. c.)8,
§ 3 und 4] willkürlich ausgewählte — Gebiet U darauf beschränken, die
meinem Hauptzweck dienlichen Thatsachen einfach anzuführen, sofern diese
Thatsachen (mit mehr oder weniger Mühe) von jedermann kontrolirbar
sind, und brauche ich dabei weder auf die Methoden einzugehen, durch
welche sie (im Zusammenhang) am bequemsten zu beweisen wären, noch
darauf, wie sie gefunden wurden.
Die Ableitung der einen Formeln aus den andern, von denen sie mit-
bedingt werden, ist zudem leicht und ganz elementar zu bewerkstelligen
und mag deshalb dem Leser überlassen bleiben. Nur in Bezug auf das
schwierige (und hier besonders wichtige) Problem der Abgrenzung jeder
Formelgruppe will ich beweiskräftige Angaben machen.
Wesentlich sind es fünf Algorithmen, mit denen wir Bekannt-
schaft zu machen haben.
10) Der Algorithmus U0 selbst, bestehend aus den sämtlichen
990 Gleichungen des Formelgebietes U [vergl. (l. c.)8, § 7 sq.].
Für uns ist nur der Nachweis von Belang, dass es Funktionen
gibt, die alle diese Funktionalgleichungen gleichzeitig erfüllen, dass
diese also, als „Formeln“ aufgefasst, miteinander verträglich sein
müssen.
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sie wirklich erfüllt. Eine solche wird nun für ein Zahlengebiet von
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. [633]. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/653>, abgerufen am 21.11.2024.
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