Nachdem wir Operationen kennen gelernt haben, dienlich um aus gegebenen Gebieten oder Klassen deren neue abzuleiten, müssen wir uns über die Eigenschaften der Ausdrücke orientiren, welche mittelst dieser Operationen aufgebaut oder zusammengesetzt werden können. Auf dieses Ziel steuern wir nunmehr hin.
42+) Theorem.
Jedes Gebiet y lässt sich durch jedes andre Gebiet x und dessen Ne- gation x1 "linear und homogen" ausdrücken in der Form: y = a x + b x1.
Beweis. Geometrisch wäre dies zwar evident für die Bedeutungen
[Abbildung]
[Abbildung]
Fig. 19.
von a = A, b = B der Fig. 19 in welcher x und y die Kreisflächen, dagegen A und B die Bilineums- oder Bogenzweieckflächen, in welche diese Buch- staben eingeschrieben sind, vorstellen. Offenbar ist nämlich hier: A x = A, B x1 = B, y = A + B.
Indessen soll ohne Not nicht auf die An- schauung rekurrirt, zurückgegangen werden oder Berufung erfolgen.
Wir beweisen daher unsre Behauptung rein "analytisch". Und dies gelingt bereits -- und auf die einfachste Weise -- durch die nach bisherigem [Th. 21x), 30+) und 27x)] leicht erweisliche Identität: y = y x + y x1, welche mit obiger Behauptung zusammenfällt, sobald man unter a und b das Gleiche, und zwar y selbst, versteht.
Noch besser, nämlich -- wie man bald in der Lage sein wird, darzuthun -- auf die allgemeinste Weise, wird der Satz erwiesen durch die ganz unumschränkt gültige Gleichung: y = (x y + u x1) x + (x1y + v x) x1,
Zehnte Vorlesung.
§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.
Nachdem wir Operationen kennen gelernt haben, dienlich um aus gegebenen Gebieten oder Klassen deren neue abzuleiten, müssen wir uns über die Eigenschaften der Ausdrücke orientiren, welche mittelst dieser Operationen aufgebaut oder zusammengesetzt werden können. Auf dieses Ziel steuern wir nunmehr hin.
42+) Theorem.
Jedes Gebiet y lässt sich durch jedes andre Gebiet x und dessen Ne- gation x1 „linear und homogen“ ausdrücken in der Form: y = a x + b x1.
Beweis. Geometrisch wäre dies zwar evident für die Bedeutungen
[Abbildung]
[Abbildung]
Fig. 19.
von a = A, b = B der Fig. 19 in welcher x und y die Kreisflächen, dagegen A und B die Bilineums- oder Bogenzweieckflächen, in welche diese Buch- staben eingeschrieben sind, vorstellen. Offenbar ist nämlich hier: A x = A, B x1 = B, y = A + B.
Indessen soll ohne Not nicht auf die An- schauung rekurrirt, zurückgegangen werden oder Berufung erfolgen.
Wir beweisen daher unsre Behauptung rein „analytisch“. Und dies gelingt bereits — und auf die einfachste Weise — durch die nach bisherigem [Th. 21×), 30+) und 27×)] leicht erweisliche Identität: y = y x + y x1, welche mit obiger Behauptung zusammenfällt, sobald man unter a und b das Gleiche, und zwar y selbst, versteht.
Noch besser, nämlich — wie man bald in der Lage sein wird, darzuthun — auf die allgemeinste Weise, wird der Satz erwiesen durch die ganz unumschränkt gültige Gleichung: y = (x y + u x1) x + (x1y + v x) x1,
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Zehnte Vorlesung.
§ 19. Funktionen und deren Entwickelung.
Nachdem wir Operationen kennen gelernt haben, dienlich um aus
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uns über die Eigenschaften der Ausdrücke orientiren, welche mittelst
dieser Operationen aufgebaut oder zusammengesetzt werden können.
Auf dieses Ziel steuern wir nunmehr hin.
42+) Theorem.
Jedes Gebiet y lässt sich durch jedes andre Gebiet x und dessen Ne-
gation x1 „linear und homogen“ ausdrücken in der Form:
y = a x + b x1.
Beweis. Geometrisch wäre dies zwar evident für die Bedeutungen
[Abbildung]
[Abbildung Fig. 19.]
von a = A, b = B der Fig. 19 in welcher x und y
die Kreisflächen, dagegen A und B die Bilineums-
oder Bogenzweieckflächen, in welche diese Buch-
staben eingeschrieben sind, vorstellen. Offenbar
ist nämlich hier: A x = A, B x1 = B, y = A + B.
Indessen soll ohne Not nicht auf die An-
schauung rekurrirt, zurückgegangen werden oder
Berufung erfolgen.
Wir beweisen daher unsre Behauptung rein „analytisch“. Und
dies gelingt bereits — und auf die einfachste Weise — durch die
nach bisherigem [Th. 21×), 30+) und 27×)] leicht erweisliche Identität:
y = y x + y x1,
welche mit obiger Behauptung zusammenfällt, sobald man unter a
und b das Gleiche, und zwar y selbst, versteht.
Noch besser, nämlich — wie man bald in der Lage sein wird,
darzuthun — auf die allgemeinste Weise, wird der Satz erwiesen durch
die ganz unumschränkt gültige Gleichung:
y = (x y + u x1) x + (x1 y + v x) x1,
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. [396]. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/416>, abgerufen am 30.12.2024.
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