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Riemann, Bernhard: Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. In: Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13 (1868), S. 133-150.

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ÜB. D. HYPOTHESEN, WELCHE DER GEOMETRIE ZU GRUNDE LIEGEN.
folgt, dass das Krümmungsmass allenthalben constant ist, und es ist dann
in allen Dreiecken die Winkelsumme bestimmt, wenn sie in einem be-
stimmt ist.

Endlich könnte man drittens, anstatt die Länge der Linien als un-
abhängig von Ort und Richtung anzunehmen, auch eine Unabhängigkeit
ihrer Länge und Richtung vom Ort voraussetzen. Nach dieser Auffas-
sung sind die Ortsänderungen oder Ortsverschiedenheiten complexe in
drei unabhängige Einheiten ausdrückbare Grössen.

§. 2.

Im Laufe der bisherigen Betrachtungen wurden zunächst die Aus-
dehnungs- oder Gebietsverhältnisse von den Massverhältnissen gesondert,
und gefunden, dass bei denselben Ausdehnungsverhältnissen verschiedene
Massverhältnisse denkbar sind; es wurden dann die Systeme einfacher
Massbestimmungen aufgesucht, durch welche die Massverhältnisse des
Raumes völlig bestimmt sind und von welchen alle Sätze über dieselben
eine nothwendige Folge sind; es bleibt nun die Frage zu erörtern, wie,
in welchem Grade und in welchem Umfange diese Voraussetzungen durch
die Erfahrung verbürgt werden. In dieser Beziehung findet zwischen den
blossen Ausdehnungsverhältnissen und den Massverhältnissen eine we-
sentliche Verschiedenheit statt, insofern bei erstern, wo die möglichen
Fälle eine discrete Mannigfaltigkeit bilden, die Aussagen der Erfahrung
zwar nie völlig gewiss, aber nicht ungenau sind, während bei letztern,
wo die möglichen Fälle eine stetige Mannigfaltigkeit bilden, jede Bestim-
mung aus der Erfahrung immer ungenau bleibt -- es mag die Wahr-
scheinlichkeit, dass sie nahe richtig ist, noch so gross sein. Dieser Um-
stand wird wichtig bei der Ausdehnung dieser empirischen Bestimmun-
gen über die Grenzen der Beobachtung in's Unmessbargrosse und Un-
messbarkleine; denn die letztern können offenbar jenseits der Grenzen
der Beobachtung immer ungenauer werden, die ersteren aber nicht.

Bei der Ausdehnung der Raumconstructionen in's Unmessbargrosse
ist Unbegrenztheit und Unendlichkeit zu scheiden; jene gehört zu den
Ausdehnungsverhältnissen, diese zu den Massverhältnissen. Dass der

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ÜB. D. HYPOTHESEN, WELCHE DER GEOMETRIE ZU GRUNDE LIEGEN.
folgt, dass das Krümmungsmass allenthalben constant ist, und es ist dann
in allen Dreiecken die Winkelsumme bestimmt, wenn sie in einem be-
stimmt ist.

Endlich könnte man drittens, anstatt die Länge der Linien als un-
abhängig von Ort und Richtung anzunehmen, auch eine Unabhängigkeit
ihrer Länge und Richtung vom Ort voraussetzen. Nach dieser Auffas-
sung sind die Ortsänderungen oder Ortsverschiedenheiten complexe in
drei unabhängige Einheiten ausdrückbare Grössen.

§. 2.

Im Laufe der bisherigen Betrachtungen wurden zunächst die Aus-
dehnungs- oder Gebietsverhältnisse von den Massverhältnissen gesondert,
und gefunden, dass bei denselben Ausdehnungsverhältnissen verschiedene
Massverhältnisse denkbar sind; es wurden dann die Systeme einfacher
Massbestimmungen aufgesucht, durch welche die Massverhältnisse des
Raumes völlig bestimmt sind und von welchen alle Sätze über dieselben
eine nothwendige Folge sind; es bleibt nun die Frage zu erörtern, wie,
in welchem Grade und in welchem Umfange diese Voraussetzungen durch
die Erfahrung verbürgt werden. In dieser Beziehung findet zwischen den
blossen Ausdehnungsverhältnissen und den Massverhältnissen eine we-
sentliche Verschiedenheit statt, insofern bei erstern, wo die möglichen
Fälle eine discrete Mannigfaltigkeit bilden, die Aussagen der Erfahrung
zwar nie völlig gewiss, aber nicht ungenau sind, während bei letztern,
wo die möglichen Fälle eine stetige Mannigfaltigkeit bilden, jede Bestim-
mung aus der Erfahrung immer ungenau bleibt — es mag die Wahr-
scheinlichkeit, dass sie nahe richtig ist, noch so gross sein. Dieser Um-
stand wird wichtig bei der Ausdehnung dieser empirischen Bestimmun-
gen über die Grenzen der Beobachtung in’s Unmessbargrosse und Un-
messbarkleine; denn die letztern können offenbar jenseits der Grenzen
der Beobachtung immer ungenauer werden, die ersteren aber nicht.

Bei der Ausdehnung der Raumconstructionen in’s Unmessbargrosse
ist Unbegrenztheit und Unendlichkeit zu scheiden; jene gehört zu den
Ausdehnungsverhältnissen, diese zu den Massverhältnissen. Dass der

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[147/0022] ÜB. D. HYPOTHESEN, WELCHE DER GEOMETRIE ZU GRUNDE LIEGEN. folgt, dass das Krümmungsmass allenthalben constant ist, und es ist dann in allen Dreiecken die Winkelsumme bestimmt, wenn sie in einem be- stimmt ist. Endlich könnte man drittens, anstatt die Länge der Linien als un- abhängig von Ort und Richtung anzunehmen, auch eine Unabhängigkeit ihrer Länge und Richtung vom Ort voraussetzen. Nach dieser Auffas- sung sind die Ortsänderungen oder Ortsverschiedenheiten complexe in drei unabhängige Einheiten ausdrückbare Grössen. §. 2. Im Laufe der bisherigen Betrachtungen wurden zunächst die Aus- dehnungs- oder Gebietsverhältnisse von den Massverhältnissen gesondert, und gefunden, dass bei denselben Ausdehnungsverhältnissen verschiedene Massverhältnisse denkbar sind; es wurden dann die Systeme einfacher Massbestimmungen aufgesucht, durch welche die Massverhältnisse des Raumes völlig bestimmt sind und von welchen alle Sätze über dieselben eine nothwendige Folge sind; es bleibt nun die Frage zu erörtern, wie, in welchem Grade und in welchem Umfange diese Voraussetzungen durch die Erfahrung verbürgt werden. In dieser Beziehung findet zwischen den blossen Ausdehnungsverhältnissen und den Massverhältnissen eine we- sentliche Verschiedenheit statt, insofern bei erstern, wo die möglichen Fälle eine discrete Mannigfaltigkeit bilden, die Aussagen der Erfahrung zwar nie völlig gewiss, aber nicht ungenau sind, während bei letztern, wo die möglichen Fälle eine stetige Mannigfaltigkeit bilden, jede Bestim- mung aus der Erfahrung immer ungenau bleibt — es mag die Wahr- scheinlichkeit, dass sie nahe richtig ist, noch so gross sein. Dieser Um- stand wird wichtig bei der Ausdehnung dieser empirischen Bestimmun- gen über die Grenzen der Beobachtung in’s Unmessbargrosse und Un- messbarkleine; denn die letztern können offenbar jenseits der Grenzen der Beobachtung immer ungenauer werden, die ersteren aber nicht. Bei der Ausdehnung der Raumconstructionen in’s Unmessbargrosse ist Unbegrenztheit und Unendlichkeit zu scheiden; jene gehört zu den Ausdehnungsverhältnissen, diese zu den Massverhältnissen. Dass der T*

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Zitationshilfe: Riemann, Bernhard: Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. In: Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13 (1868), S. 133-150, hier S. 147. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/riemann_hypothesen_1867/22>, abgerufen am 03.12.2024.