Mohr, Christian Otto: Beitrag zur Theorie des Fachwerks. Fortsetzung. T. 2. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover (1875), Sp. 17-38.
[Spaltenumbruch] Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks. des kontinuirlichen Balkenfachwerks genau in derselbenForm entwickelt werden kann wie die jetzt allgemein angewandte Theorie der kontinuirlichen Träger. Wir haben es nicht für zweckmässig gehalten, die weitere Entwickelung hier auszuführen, weil Gründe für die Annahme vorliegen, dass die Resultate dieser genaueren *) [Spaltenumbruch] Theorie in der Regel nur unerheblich von den Ergeb- nissen des bislang gebräuchlichen einfacheren Verfah- rens abweichen. Man pflegt bekanntlich bei der Wahl der Querschnittsdimensionen eines kontinuirlichen Bal- kenfachwerks diejenigen äusseren Kräfte zu berück- sichtigen, welche auf einen Träger von konstantem Querschnitt unter sonst gleichen Umständen einwirken würden. Wenn es erlaubt ist, aus einigen durchgerech- neten Beispielen einen solchen Schluss zu ziehen, so darf jenes Verfahren als zulässig anerkannt werden. Jedenfalls dürfte es genügen, nachdem die Querschnitts- dimensionen in der eben angegebenen Weise gewählt worden sind, die Richtigkeit und Brauchbarkeit der Ergebnisse durch Anwendung des oben entwickelten Verfahrens auf einige wichtige Belastungsfälle zu prüfen. Für diesen Zweck bedarf es einer weiteren Entwicke- lung der Theorie nicht, da die Gleichungen 18) direkt in Anwendung gebracht werden können. Die ziemlich zeitraubenden Zahlenrechnungen, welche hiermit ver- bunden sind, kann man umgehen durch Anwendung des im Folgenden beschriebenen graphischen Verfahrens. Graphische Bestimmung der Durchbiegungen eines ein- fachen Balkenfachwerks. [Abbildung]
Fig. 24. [Abbildung]
Ein Polygon A C B (Fig. 24), dessen vertikale Or- oder [Formel 7] ferner: [Formel 8] und endlich: [Formel 9] Setzt man diese Werthe in die zweite der Gleichungen 18 ein, so ergibt sich die Beziehung: [Formel 10] *) hier beispielsweise die Clapeyron'sche Gleichung für das zweite und dritte Tragfeld aus der zweiten der Gleichungen 18 ent- wickelt werden. Zu dem Zwecke bezeichnen wir mit q2 und q3 die Belastungen für die Längeneinheit des zweiten und dritten Tragfeldes; und mit x die horizontale, variable Entfernung des betrachteten Gurtungstheils von der zweiten Mittelstütze. Für jeden Gurtungstheil von der Länge d x, dem Quer- schnitt F und dem Elasticitätsmodul E ist [Formel 1] Ferner ergeben sich aus der Betrachtung der nachstehenden Figuren für jeden Gurtungstheil des zweiten Tragfeldes die Werthe: [Abbildung]
Fig. 21.
[Abbildung]
[Formel 2]
[Abbildung]
Fig. 22. [Abbildung] [Formel 3] [Abbildung] Fig. 23. [Abbildung] [Formel 4] und für jeden Gurtungstheil des dritten Tragfeldes [Formel 5] Die oberen Vorzeichen gelten für die Theile der oberen und die unteren für die Theile der unteren Gurtung. Die in den Gleichungen 18) vorkommenden Summenwerthe haben demnach für beide Gurtungen gleiche Grössen und Vorzeichen und es genügt daher, in jene Gleichungen nur die Summenwerthe für die obere Gurtung einzusetzen. Hiernach ist: [Formel 6] 2*
[Spaltenumbruch] Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks. des kontinuirlichen Balkenfachwerks genau in derselbenForm entwickelt werden kann wie die jetzt allgemein angewandte Theorie der kontinuirlichen Träger. Wir haben es nicht für zweckmässig gehalten, die weitere Entwickelung hier auszuführen, weil Gründe für die Annahme vorliegen, dass die Resultate dieser genaueren *) [Spaltenumbruch] Theorie in der Regel nur unerheblich von den Ergeb- nissen des bislang gebräuchlichen einfacheren Verfah- rens abweichen. Man pflegt bekanntlich bei der Wahl der Querschnittsdimensionen eines kontinuirlichen Bal- kenfachwerks diejenigen äusseren Kräfte zu berück- sichtigen, welche auf einen Träger von konstantem Querschnitt unter sonst gleichen Umständen einwirken würden. Wenn es erlaubt ist, aus einigen durchgerech- neten Beispielen einen solchen Schluss zu ziehen, so darf jenes Verfahren als zulässig anerkannt werden. Jedenfalls dürfte es genügen, nachdem die Querschnitts- dimensionen in der eben angegebenen Weise gewählt worden sind, die Richtigkeit und Brauchbarkeit der Ergebnisse durch Anwendung des oben entwickelten Verfahrens auf einige wichtige Belastungsfälle zu prüfen. Für diesen Zweck bedarf es einer weiteren Entwicke- lung der Theorie nicht, da die Gleichungen 18) direkt in Anwendung gebracht werden können. Die ziemlich zeitraubenden Zahlenrechnungen, welche hiermit ver- bunden sind, kann man umgehen durch Anwendung des im Folgenden beschriebenen graphischen Verfahrens. Graphische Bestimmung der Durchbiegungen eines ein- fachen Balkenfachwerks. [Abbildung]
Fig. 24. [Abbildung]
Ein Polygon A C B (Fig. 24), dessen vertikale Or- oder [Formel 7] ferner: [Formel 8] und endlich: [Formel 9] Setzt man diese Werthe in die zweite der Gleichungen 18 ein, so ergibt sich die Beziehung: [Formel 10] *) hier beispielsweise die Clapeyron’sche Gleichung für das zweite und dritte Tragfeld aus der zweiten der Gleichungen 18 ent- wickelt werden. Zu dem Zwecke bezeichnen wir mit q2 und q3 die Belastungen für die Längeneinheit des zweiten und dritten Tragfeldes; und mit x die horizontale, variable Entfernung des betrachteten Gurtungstheils von der zweiten Mittelstütze. Für jeden Gurtungstheil von der Länge d x, dem Quer- schnitt F und dem Elasticitätsmodul E ist [Formel 1] Ferner ergeben sich aus der Betrachtung der nachstehenden Figuren für jeden Gurtungstheil des zweiten Tragfeldes die Werthe: [Abbildung]
Fig. 21.
[Abbildung]
[Formel 2]
[Abbildung]
Fig. 22. [Abbildung] [Formel 3] [Abbildung] Fig. 23. [Abbildung] [Formel 4] und für jeden Gurtungstheil des dritten Tragfeldes [Formel 5] Die oberen Vorzeichen gelten für die Theile der oberen und die unteren für die Theile der unteren Gurtung. Die in den Gleichungen 18) vorkommenden Summenwerthe haben demnach für beide Gurtungen gleiche Grössen und Vorzeichen und es genügt daher, in jene Gleichungen nur die Summenwerthe für die obere Gurtung einzusetzen. Hiernach ist: [Formel 6] 2*
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Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
des kontinuirlichen Balkenfachwerks genau in derselben
Form entwickelt werden kann wie die jetzt allgemein
angewandte Theorie der kontinuirlichen Träger. Wir
haben es nicht für zweckmässig gehalten, die weitere
Entwickelung hier auszuführen, weil Gründe für die
Annahme vorliegen, dass die Resultate dieser genaueren
*)
Theorie in der Regel nur unerheblich von den Ergeb-
nissen des bislang gebräuchlichen einfacheren Verfah-
rens abweichen. Man pflegt bekanntlich bei der Wahl
der Querschnittsdimensionen eines kontinuirlichen Bal-
kenfachwerks diejenigen äusseren Kräfte zu berück-
sichtigen, welche auf einen Träger von konstantem
Querschnitt unter sonst gleichen Umständen einwirken
würden. Wenn es erlaubt ist, aus einigen durchgerech-
neten Beispielen einen solchen Schluss zu ziehen, so
darf jenes Verfahren als zulässig anerkannt werden.
Jedenfalls dürfte es genügen, nachdem die Querschnitts-
dimensionen in der eben angegebenen Weise gewählt
worden sind, die Richtigkeit und Brauchbarkeit der
Ergebnisse durch Anwendung des oben entwickelten
Verfahrens auf einige wichtige Belastungsfälle zu prüfen.
Für diesen Zweck bedarf es einer weiteren Entwicke-
lung der Theorie nicht, da die Gleichungen 18) direkt
in Anwendung gebracht werden können. Die ziemlich
zeitraubenden Zahlenrechnungen, welche hiermit ver-
bunden sind, kann man umgehen durch Anwendung
des im Folgenden beschriebenen graphischen Verfahrens.
Graphische Bestimmung der Durchbiegungen eines ein-
fachen Balkenfachwerks.
[Abbildung Fig. 24. ]
[Abbildung]
Ein Polygon A C B (Fig. 24), dessen vertikale Or-
dinaten y1, y2, y3 .... in Bezug auf eine Abscissen-
achse A B von beliebiger Lage die Durchbiegungen der
Knotenpunkte der unteren Gurtung eines Balkenfach-
werks darstellen, nennen wir das Biegungspolygon
jener Gurtung. Die Möglichkeit, dieses Polygon zu
*)
*) hier beispielsweise die Clapeyron’sche Gleichung für das zweite
und dritte Tragfeld aus der zweiten der Gleichungen 18 ent-
wickelt werden. Zu dem Zwecke bezeichnen wir mit q2 und q3
die Belastungen für die Längeneinheit des zweiten und dritten
Tragfeldes; und mit x die horizontale, variable Entfernung des
betrachteten Gurtungstheils von der zweiten Mittelstütze.
Für jeden Gurtungstheil von der Länge d x, dem Quer-
schnitt F und dem Elasticitätsmodul E ist
[FORMEL] Ferner ergeben sich aus der Betrachtung der nachstehenden
Figuren für jeden Gurtungstheil des zweiten Tragfeldes die
Werthe:
[Abbildung Fig. 21. ]
[Abbildung]
[FORMEL]
[Abbildung Fig. 22. ]
[Abbildung]
[FORMEL]
[Abbildung Fig. 23. ]
[Abbildung]
[FORMEL] und für jeden Gurtungstheil des dritten Tragfeldes
[FORMEL] Die oberen Vorzeichen gelten für die Theile der oberen und
die unteren für die Theile der unteren Gurtung. Die in den
Gleichungen 18) vorkommenden Summenwerthe haben demnach
für beide Gurtungen gleiche Grössen und Vorzeichen und es
genügt daher, in jene Gleichungen nur die Summenwerthe für
die obere Gurtung einzusetzen. Hiernach ist:
[FORMEL]
*) oder
[FORMEL] ferner:
[FORMEL] und endlich:
[FORMEL] Setzt man diese Werthe in die zweite der Gleichungen 18
ein, so ergibt sich die Beziehung:
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