Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

Abschnitt I.

Einleitende Betrachtungen.

§. 1. Stationäre Strömungen in der Ebene als Deutung der Functionen von x + iy.

Die physikalische Deutung der Functionen von $x + iy$, mit welcher wir im Folgenden zu arbeiten haben, ist in ihren Grundlagen wohlbekannt, nur der Vollständigkeit halber müssen letztere kurz zur Sprache gebracht werden.

Sei $w = u + iv$, $z = x + iy$, $w = f(z)$. Dann hat man vor allen Dingen:
$\tag{1} \frac{\partial{u}}{\partial{x}} = \frac{\partial{v}}{\partial{y}},\quad \frac{\partial{u}}{\partial{y}} = - \frac{\partial{v}}{\partial{x}}$
und hieraus:
$\tag{2} \frac{\partial^2{u}}{\partial{x^2}} + \frac{\partial^2{u}}{\partial{y^2}} = 0$
sowie für v:
$\tag{3} \frac{\partial^2{v}}{\partial{x^2}} + \frac{\partial^2{v}}{\partial{y^2}} = 0.$

Hier wird man nun u als Geschwindigkeitspotential deuten, so dass $\dfrac{\partial{u}}{\partial{x}},$ $\dfrac{\partial{v}}{\partial{y}}$ die Componenten der Geschwindigkeit sind, mit der eine Flüssigkeit parallel zur $XY$-Ebene strömt. Wir mögen uns diese Flüssigkeit zwischen zwei Ebenen eingeschlossen denken, die parallel zur $XY$-Ebene verlaufen, oder auch uns vorstellen, dass die Flüssigkeit als unendlich dünne, übrigens gleichförmige Membran über der $XY$-Ebene ausgebreitet sei. Dann sagt die Gleichung (2) — und dies ist der Kern unserer physikalischen Deutung —, dass unsere

Sei insbesondere auf die Darstellung verwiesen, welche Maxwell in seinem Treatise on Electricity and Magnetisme (Cambridge 1873) gegeben hat. Dieselbe entspricht, was anschauungsmässige Behandlung angeht, genau den Gesichtspuncten, die auch ich im Texte verfolge.