Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.Krümmung, je nachdem der Complex ein allgemeiner oder ein VII. Zur Interpretation der binären Formen. Es mag hier der übersichtlichen Gestalt gedacht werden, Eine cubische binäre Form f hat eine cubische Covariante Das ganze so umgrenzte Formensystem kann auf der Kugel 1) Vergl. den Aufsatz: Ueber Liniengeometrie und metrische Geo- metrie. Math. Ann. Bd. V. p. 271. 2) Vergl. hiezu die betr. Abschnitte von Clebsch: Theorie der binären Formen. 3) Durch Betrachtung der linearen Transformationen von f in sich
selbst. vergl. Math. Ann. IV. p. 352. Krümmung, je nachdem der Complex ein allgemeiner oder ein VII. Zur Interpretation der binären Formen. Es mag hier der übersichtlichen Gestalt gedacht werden, Eine cubische binäre Form f hat eine cubische Covariante Das ganze so umgrenzte Formensystem kann auf der Kugel 1) Vergl. den Aufsatz: Ueber Liniengeometrie und metrische Geo- metrie. Math. Ann. Bd. V. p. 271. 2) Vergl. hiezu die betr. Abschnitte von Clebsch: Theorie der binären Formen. 3) Durch Betrachtung der linearen Transformationen von f in sich
selbst. vergl. Math. Ann. IV. p. 352. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0055" n="47"/> Krümmung, je nachdem der Complex ein allgemeiner oder ein<lb/> specieller (eine Gerade) ist. An die Auszeichnung eines Com-<lb/> plexes ist namentlich auch die Geltung eines absoluten Bogen-<lb/> element’s geknüpft. Unabhängig davon sind die Fortschreit-<lb/> ungsrichtungen zu benachbarten Geraden, welche die gegebene<lb/> schneiden, von der Länge Null, und auch kann man von einem<lb/> Winkel reden, den zwei beliebige Fortschreitungsrichtungen mit<lb/> einander bilden <note place="foot" n="1)">Vergl. den Aufsatz: Ueber Liniengeometrie und metrische Geo-<lb/> metrie. Math. Ann. Bd. V. p. 271.</note>.</p> </div><lb/> <div n="2"> <head>VII. <hi rendition="#g">Zur Interpretation der binären Formen</hi>.</head><lb/> <p>Es mag hier der übersichtlichen Gestalt gedacht werden,<lb/> welche, unter Zugrundelegung der Interpretation von x+iy<lb/> auf der Kugelfläche, dem Formensysteme der cubischen und<lb/> der biquadratischen binären Form ertheilt werden kann.</p><lb/> <p>Eine cubische binäre Form f hat eine cubische Covariante<lb/> Q, eine quadratische ∆, und eine Invariante R <note place="foot" n="2)">Vergl. hiezu die betr. Abschnitte von <hi rendition="#g">Clebsch</hi>: Theorie der<lb/> binären Formen.</note>. Aus f und<lb/> Q setzt sich eine ganze Reihe von Covarianten sechsten Grades<lb/><hi rendition="#c"><formula/></hi> zusammen, unter denen auch ∆<hi rendition="#sup">3</hi> enthalten ist. Man kann<lb/> zeigen <note place="foot" n="3)">Durch Betrachtung der linearen Transformationen von f in sich<lb/> selbst. vergl. Math. Ann. IV. p. 352.</note>, dass jede Covariante der cubischen Form in solche<lb/> Gruppen von sechs Puncten zerfallen muss. Insofern λ complexe<lb/> Werthe annehmen kann, gibt es zweifach unendlich viele derselben.</p><lb/> <p>Das ganze so umgrenzte Formensystem kann auf der Kugel<lb/> nun folgendermassen repräsentirt werden. Durch geeignete<lb/> lineare Transformation der Kugel in sich selbst bringe man<lb/> die drei Puncte, welche f repräsentiren, in drei äquidistante<lb/> Puncte eines grössten Kreises. Derselbe mag als Aequator be-<lb/> zeichnet sein; auf ihm haben die drei Puncte f die geogra-<lb/> phische Länge 0°, 120°, 240°. So wird Q durch die Puncte<lb/> des Aequator’s mit der Länge 60°, 180°, 300°, ∆ durch die<lb/> beiden Pole vorgestellt. Jede Form Q<hi rendition="#sup">2</hi>+λRf<hi rendition="#sup">2</hi> ist durch 6 Puncte<lb/> repräsentirt, deren geographische Breite und Länge, unter α<lb/> und β beliebige Zahlen verstanden, in dem folgenden Schema<lb/> enthalten ist:<lb/><hi rendition="#et"><formula/></hi></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [47/0055]
Krümmung, je nachdem der Complex ein allgemeiner oder ein
specieller (eine Gerade) ist. An die Auszeichnung eines Com-
plexes ist namentlich auch die Geltung eines absoluten Bogen-
element’s geknüpft. Unabhängig davon sind die Fortschreit-
ungsrichtungen zu benachbarten Geraden, welche die gegebene
schneiden, von der Länge Null, und auch kann man von einem
Winkel reden, den zwei beliebige Fortschreitungsrichtungen mit
einander bilden 1).
VII. Zur Interpretation der binären Formen.
Es mag hier der übersichtlichen Gestalt gedacht werden,
welche, unter Zugrundelegung der Interpretation von x+iy
auf der Kugelfläche, dem Formensysteme der cubischen und
der biquadratischen binären Form ertheilt werden kann.
Eine cubische binäre Form f hat eine cubische Covariante
Q, eine quadratische ∆, und eine Invariante R 2). Aus f und
Q setzt sich eine ganze Reihe von Covarianten sechsten Grades
[FORMEL] zusammen, unter denen auch ∆3 enthalten ist. Man kann
zeigen 3), dass jede Covariante der cubischen Form in solche
Gruppen von sechs Puncten zerfallen muss. Insofern λ complexe
Werthe annehmen kann, gibt es zweifach unendlich viele derselben.
Das ganze so umgrenzte Formensystem kann auf der Kugel
nun folgendermassen repräsentirt werden. Durch geeignete
lineare Transformation der Kugel in sich selbst bringe man
die drei Puncte, welche f repräsentiren, in drei äquidistante
Puncte eines grössten Kreises. Derselbe mag als Aequator be-
zeichnet sein; auf ihm haben die drei Puncte f die geogra-
phische Länge 0°, 120°, 240°. So wird Q durch die Puncte
des Aequator’s mit der Länge 60°, 180°, 300°, ∆ durch die
beiden Pole vorgestellt. Jede Form Q2+λRf2 ist durch 6 Puncte
repräsentirt, deren geographische Breite und Länge, unter α
und β beliebige Zahlen verstanden, in dem folgenden Schema
enthalten ist:
[FORMEL]
1) Vergl. den Aufsatz: Ueber Liniengeometrie und metrische Geo-
metrie. Math. Ann. Bd. V. p. 271.
2) Vergl. hiezu die betr. Abschnitte von Clebsch: Theorie der
binären Formen.
3) Durch Betrachtung der linearen Transformationen von f in sich
selbst. vergl. Math. Ann. IV. p. 352.
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Zitationshilfe: | Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 47. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/55>, abgerufen am 24.08.2024. |