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Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900.

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mathematische Probleme.

Ich bemerke noch, daß es beispielsweise Flächen von nega-
tiver constanter Gaussscher Krümmung giebt, die durch ste-
tige und fortgesetzt differenzirbare, aber nicht analytische Func-
tionen dargestellt werden, während wahrscheinlich jede Fläche
von positiver constanter Gaussscher Krümmung stets not-
wendig eine analytische Fläche sein muß. Bekanntlich stehen ja
auch die Flächen positiver constanter Krümmung in engster Ver-
bindung mit dem regulären Variationsproblem, durch eine ge-
schlossene Raumcurve eine Fläche kleinsten Flächeninhaltes zu
legen, die mit einer festen Fläche durch die nämliche Raumcurve
ein gegebenes Volumen abschließt.

20. Allgemeines Randwertproblem.

Ein wichtiges Problem, welches mit dem eben genannten in
engem Zusammenhange steht, ist die Frage nach der Existenz von
Lösungen von partiellen Differentialgleichungen mit vorgeschriebe-
nen Randwerten. Die scharfsinnigen Methoden von H. A. Schwarz,
C. Neumann und Poincare haben dieses Problem für die Diffe-
rentialgleichung des Potentials im Wesentlichen gelöst, doch er-
scheinen diese Methoden im Allgemeinen nicht unmittelbar der
Ausdehnung fähig auf den Fall, indem am Rande die Differen-
tialquotienten oder Beziehungen zwischen diesen und den Werten
der Function vorgeschrieben sind, oder wenn es sich nicht um Po-
tentialflächen handelt, sondern etwa nach Flächen kleinsten Flächen-
inhalts oder nach Flächen mit constanter positiver Gaussscher
Krümmung gefragt wird, die durch eine vorgelegte Raumcurve
hindurch laufen oder über eine gegebene Ringfläche zu spannen
sind. Ich bin überzeugt, daß es möglich sein wird, diese Existenz-
beweise durch einen allgemeinen Grundgedanken zu führen, auf
den das Dirichletsche Princip hinweist und der uns dann
vielleicht in den Stand setzen wird, der Frage näher zu treten,
ob nicht jedes reguläre Variationsproblem eine Lösung besitzt, sobald
hinsichtlich der gegebenen Grenzbedingungen gewisse Annahmen -- etwa
die Stetigkeit und stückweise öftere Differenziirbarkeit, der für die
Randbedingungen maßgebenden Functionen -- erfüllt sind und nöti-
genfalls der Begriff der Lösung eine sinngemäße Erweiterung erfährt1).

21. Beweis der Existenz linearer Differentialgleichungen mit vorgeschriebener
Monodromiegruppe.

Aus der Theorie der linearen Differentialgleichungen mit
einer unabhängigen Veränderlichen z möchte ich auf ein wichtiges

1) Vgl. meinen Vortrag über das Dirichletsche Princip. Jahresbericht
der Deutschen Mathematiker-Vereinigung VIII 1900, S. 184.
Kgl. Ges. d. Wiss. Nachrichten. Math.-phys. Klasse 1900. Heft 3. 21
mathematische Probleme.

Ich bemerke noch, daß es beispielsweise Flächen von nega-
tiver constanter Gaussscher Krümmung giebt, die durch ste-
tige und fortgesetzt differenzirbare, aber nicht analytische Func-
tionen dargestellt werden, während wahrscheinlich jede Fläche
von positiver constanter Gaussscher Krümmung stets not-
wendig eine analytische Fläche sein muß. Bekanntlich stehen ja
auch die Flächen positiver constanter Krümmung in engster Ver-
bindung mit dem regulären Variationsproblem, durch eine ge-
schlossene Raumcurve eine Fläche kleinsten Flächeninhaltes zu
legen, die mit einer festen Fläche durch die nämliche Raumcurve
ein gegebenes Volumen abschließt.

20. Allgemeines Randwertproblem.

Ein wichtiges Problem, welches mit dem eben genannten in
engem Zusammenhange steht, ist die Frage nach der Existenz von
Lösungen von partiellen Differentialgleichungen mit vorgeschriebe-
nen Randwerten. Die scharfsinnigen Methoden von H. A. Schwarz,
C. Neumann und Poincaré haben dieses Problem für die Diffe-
rentialgleichung des Potentials im Wesentlichen gelöst, doch er-
scheinen diese Methoden im Allgemeinen nicht unmittelbar der
Ausdehnung fähig auf den Fall, indem am Rande die Differen-
tialquotienten oder Beziehungen zwischen diesen und den Werten
der Function vorgeschrieben sind, oder wenn es sich nicht um Po-
tentialflächen handelt, sondern etwa nach Flächen kleinsten Flächen-
inhalts oder nach Flächen mit constanter positiver Gaussscher
Krümmung gefragt wird, die durch eine vorgelegte Raumcurve
hindurch laufen oder über eine gegebene Ringfläche zu spannen
sind. Ich bin überzeugt, daß es möglich sein wird, diese Existenz-
beweise durch einen allgemeinen Grundgedanken zu führen, auf
den das Dirichletsche Princip hinweist und der uns dann
vielleicht in den Stand setzen wird, der Frage näher zu treten,
ob nicht jedes reguläre Variationsproblem eine Lösung besitzt, sobald
hinsichtlich der gegebenen Grenzbedingungen gewisse Annahmen — etwa
die Stetigkeit und stückweise öftere Differenziirbarkeit, der für die
Randbedingungen maßgebenden Functionen — erfüllt sind und nöti-
genfalls der Begriff der Lösung eine sinngemäße Erweiterung erfährt1).

21. Beweis der Existenz linearer Differentialgleichungen mit vorgeschriebener
Monodromiegruppe.

Aus der Theorie der linearen Differentialgleichungen mit
einer unabhängigen Veränderlichen z möchte ich auf ein wichtiges

1) Vgl. meinen Vortrag über das Dirichletsche Princip. Jahresbericht
der Deutschen Mathematiker-Vereinigung VIII 1900, S. 184.
Kgl. Ges. d. Wiss. Nachrichten. Math.-phys. Klasse 1900. Heft 3. 21
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[289/0045] mathematische Probleme. Ich bemerke noch, daß es beispielsweise Flächen von nega- tiver constanter Gaussscher Krümmung giebt, die durch ste- tige und fortgesetzt differenzirbare, aber nicht analytische Func- tionen dargestellt werden, während wahrscheinlich jede Fläche von positiver constanter Gaussscher Krümmung stets not- wendig eine analytische Fläche sein muß. Bekanntlich stehen ja auch die Flächen positiver constanter Krümmung in engster Ver- bindung mit dem regulären Variationsproblem, durch eine ge- schlossene Raumcurve eine Fläche kleinsten Flächeninhaltes zu legen, die mit einer festen Fläche durch die nämliche Raumcurve ein gegebenes Volumen abschließt. 20. Allgemeines Randwertproblem. Ein wichtiges Problem, welches mit dem eben genannten in engem Zusammenhange steht, ist die Frage nach der Existenz von Lösungen von partiellen Differentialgleichungen mit vorgeschriebe- nen Randwerten. Die scharfsinnigen Methoden von H. A. Schwarz, C. Neumann und Poincaré haben dieses Problem für die Diffe- rentialgleichung des Potentials im Wesentlichen gelöst, doch er- scheinen diese Methoden im Allgemeinen nicht unmittelbar der Ausdehnung fähig auf den Fall, indem am Rande die Differen- tialquotienten oder Beziehungen zwischen diesen und den Werten der Function vorgeschrieben sind, oder wenn es sich nicht um Po- tentialflächen handelt, sondern etwa nach Flächen kleinsten Flächen- inhalts oder nach Flächen mit constanter positiver Gaussscher Krümmung gefragt wird, die durch eine vorgelegte Raumcurve hindurch laufen oder über eine gegebene Ringfläche zu spannen sind. Ich bin überzeugt, daß es möglich sein wird, diese Existenz- beweise durch einen allgemeinen Grundgedanken zu führen, auf den das Dirichletsche Princip hinweist und der uns dann vielleicht in den Stand setzen wird, der Frage näher zu treten, ob nicht jedes reguläre Variationsproblem eine Lösung besitzt, sobald hinsichtlich der gegebenen Grenzbedingungen gewisse Annahmen — etwa die Stetigkeit und stückweise öftere Differenziirbarkeit, der für die Randbedingungen maßgebenden Functionen — erfüllt sind und nöti- genfalls der Begriff der Lösung eine sinngemäße Erweiterung erfährt 1). 21. Beweis der Existenz linearer Differentialgleichungen mit vorgeschriebener Monodromiegruppe. Aus der Theorie der linearen Differentialgleichungen mit einer unabhängigen Veränderlichen z möchte ich auf ein wichtiges 1) Vgl. meinen Vortrag über das Dirichletsche Princip. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung VIII 1900, S. 184. Kgl. Ges. d. Wiss. Nachrichten. Math.-phys. Klasse 1900. Heft 3. 21

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Zitationshilfe: Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900, S. 289. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/hilbert_mathematische_1900/45>, abgerufen am 22.12.2024.