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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Sind Ps und Ph Geschwindigkeitspotentiale von ausserhalb S gelegenen Er-
regungspunkten, so wird
(7b.) .

Green hat bewiesen, dass eine solche Gleichung wie (7a.) auch richtig bleibt,
wenn in einem unendlich kleinen Raumelement ds des Raumes S die Dichtig-
keit p einen so grossen constanten Werth annimmt, dass p ds einer endlichen
Grösse A gleich wird, obgleich dann Ph an dieser Stelle nicht stetig bleibt,
sondern unstetig wird, wie . Nehmen wir an, dass Ph das Geschwindig-
keitspotential der in dem unendlich kleinen Raumelemente ds, dessen Coor-
dinaten a, b, g seien, mit der gleichmässigen Dichtigkeit p vertheilten Er-
regungspunkte sei, während p überall sonst gleich Null ist, so dass also Ph
in endlicher Entfernung vom Punkte a, b, g den Werth habe:
,
so reducirt sich das dreifache Integral der linken Seite der Gleichung (7a.),
indem wir den Werth, welchen Ps im Punkte a, b, g hat, mit Psa bezeich-
nen, auf
.

Die Gleichung (7.) wird also
(7c.) .

Somit ist die Function Ps, welche wir nur der Bedingung unterworfen hatten,
eindeutig und stetig zu sein, die übrigens ganz beliebiger Art sein kann, auf
die Form unserer Geschwindigkeitspotentiale gebracht. Ist übrigens innerhalb
des ganzen Raumes S
,
so wird die Gleichung (7c.):
(7d.) .

Nun ist das Integral das Potential einer Schicht von Erre-
gungspunkten, welche an der Oberfläche von S ausgebreitet ist und die
Dichtigkeit hat. Das andere Integral können wir aber betrachten als das

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Sind Ψ und Φ Geschwindigkeitspotentiale von auſserhalb S gelegenen Er-
regungspunkten, so wird
(7b.) .

Green hat bewiesen, daſs eine solche Gleichung wie (7a.) auch richtig bleibt,
wenn in einem unendlich kleinen Raumelement ds des Raumes S die Dichtig-
keit p einen so groſsen constanten Werth annimmt, daſs p ds einer endlichen
Gröſse A gleich wird, obgleich dann Φ an dieser Stelle nicht stetig bleibt,
sondern unstetig wird, wie . Nehmen wir an, daſs Φ das Geschwindig-
keitspotential der in dem unendlich kleinen Raumelemente ds, dessen Coor-
dinaten α, β, γ seien, mit der gleichmäſsigen Dichtigkeit p vertheilten Er-
regungspunkte sei, während p überall sonst gleich Null ist, so daſs also Φ
in endlicher Entfernung vom Punkte α, β, γ den Werth habe:
,
so reducirt sich das dreifache Integral der linken Seite der Gleichung (7a.),
indem wir den Werth, welchen Ψ im Punkte α, β, γ hat, mit Ψa bezeich-
nen, auf
.

Die Gleichung (7.) wird also
(7c.) .

Somit ist die Function Ψ, welche wir nur der Bedingung unterworfen hatten,
eindeutig und stetig zu sein, die übrigens ganz beliebiger Art sein kann, auf
die Form unserer Geschwindigkeitspotentiale gebracht. Ist übrigens innerhalb
des ganzen Raumes S
,
so wird die Gleichung (7c.):
(7d.) .

Nun ist das Integral das Potential einer Schicht von Erre-
gungspunkten, welche an der Oberfläche von S ausgebreitet ist und die
Dichtigkeit hat. Das andere Integral können wir aber betrachten als das

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[23/0033] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. Sind Ψ und Φ Geschwindigkeitspotentiale von auſserhalb S gelegenen Er- regungspunkten, so wird (7b.) [FORMEL]. Green hat bewiesen, daſs eine solche Gleichung wie (7a.) auch richtig bleibt, wenn in einem unendlich kleinen Raumelement ds des Raumes S die Dichtig- keit p einen so groſsen constanten Werth annimmt, daſs p ds einer endlichen Gröſse A gleich wird, obgleich dann Φ an dieser Stelle nicht stetig bleibt, sondern unstetig wird, wie [FORMEL]. Nehmen wir an, daſs Φ das Geschwindig- keitspotential der in dem unendlich kleinen Raumelemente ds, dessen Coor- dinaten α, β, γ seien, mit der gleichmäſsigen Dichtigkeit p vertheilten Er- regungspunkte sei, während p überall sonst gleich Null ist, so daſs also Φ in endlicher Entfernung vom Punkte α, β, γ den Werth habe: [FORMEL], so reducirt sich das dreifache Integral der linken Seite der Gleichung (7a.), indem wir den Werth, welchen Ψ im Punkte α, β, γ hat, mit Ψa bezeich- nen, auf [FORMEL]. Die Gleichung (7.) wird also (7c.) [FORMEL]. Somit ist die Function Ψ, welche wir nur der Bedingung unterworfen hatten, eindeutig und stetig zu sein, die übrigens ganz beliebiger Art sein kann, auf die Form unserer Geschwindigkeitspotentiale gebracht. Ist übrigens innerhalb des ganzen Raumes S [FORMEL], so wird die Gleichung (7c.): (7d.) [FORMEL]. Nun ist das Integral [FORMEL] das Potential einer Schicht von Erre- gungspunkten, welche an der Oberfläche von S ausgebreitet ist und die Dichtigkeit [FORMEL] hat. Das andere Integral können wir aber betrachten als das

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 23. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/33>, abgerufen am 30.09.2020.