Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Sind Ψ und Φ Geschwindigkeitspotentiale von auſserhalb S gelegenen Er-
regungspunkten, so wird
(7^b.) $\int\Psi\frac{d\Phi}{dn}d\omega = \int\Phi\frac{d\Psi}{dn}d\omega$.

Green hat bewiesen, daſs eine solche Gleichung wie (7^a.) auch richtig bleibt,
wenn in einem unendlich kleinen Raumelement ds des Raumes S die Dichtig-
keit p einen so groſsen constanten Werth annimmt, daſs p ds einer endlichen
Gröſse A gleich wird, obgleich dann Φ an dieser Stelle nicht stetig bleibt,
sondern unstetig wird, wie $\frac{A}{r}$. Nehmen wir an, daſs Φ das Geschwindig-
keitspotential der in dem unendlich kleinen Raumelemente ds, dessen Coor-
dinaten α, β, γ seien, mit der gleichmäſsigen Dichtigkeit p vertheilten Er-
regungspunkte sei, während p überall sonst gleich Null ist, so daſs also Φ
in endlicher Entfernung vom Punkte α, β, γ den Werth habe:
$\Phi = A\frac{\cos kr}{r}$,
so reducirt sich das dreifache Integral der linken Seite der Gleichung (7^a.),
indem wir den Werth, welchen Ψ im Punkte α, β, γ hat, mit Ψ_a bezeich-
nen, auf
$\Psi_\alpha\int p ds = A\Psi_\alpha$.

Die Gleichung (7.) wird also
(7^c.) $-4\pi\Psi_\alpha = \int\frac{d\Psi}{dn}\frac{\cos kr}{r}d\omega - \int\Psi\frac{d}{dn}\left(\frac{\cos kr}{r}\right)d\omega + \int\int\int(\nabla_x\Psi + k^2\Psi)\frac{\cos kr}{r}dxdydz$.

Somit ist die Function Ψ, welche wir nur der Bedingung unterworfen hatten,
eindeutig und stetig zu sein, die übrigens ganz beliebiger Art sein kann, auf
die Form unserer Geschwindigkeitspotentiale gebracht. Ist übrigens innerhalb
des ganzen Raumes S
$\nabla_x\Psi + k^2\Psi = 0$,
so wird die Gleichung (7^c.):
(7^d.) $\int\Psi\frac{d}{dn}\left(\frac{\cos kr}{r}\right)d\omega - \int\frac{d\Psi}{dn}\frac{\cos kr}{r}d\omega = 4\pi\Psi_\alpha$.

Nun ist das Integral $\int\frac{d\Psi}{dn}\frac{\cos kr}{r}$ das Potential einer Schicht von Erre-
gungspunkten, welche an der Oberfläche von S ausgebreitet ist und die
Dichtigkeit $\frac{d\Psi}{dn}$ hat. Das andere Integral können wir aber betrachten als das