Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

men, daſs der Widerstand hauptsächlich nur von den dicht bei der Oeffnung
gelegenen Theilen herrührt, wo die Bahn der Strömung am engsten ist. Der
Widerstand einer kreisförmigen Oeffnung vom Radius R in einer isolirenden
Ebene, welche zwei unendlich ausgedehnte Leiter von einander trennt, ist
aber ausgedrückt durch die Länge l eines Cylinders vom Querschnitt Q:
(12ⁱ.) $l = \frac{Q}{2R}$,
und dies würde in diesem Falle auch der Werth von $-\frac{B}{A}$ sein.

2) Es ist eine Function $\frac{1}{k}\Psi''$ zu suchen, welche im ganzen betrach-
teten Raume der Bedingung genügt, daſs ∇ Ψ″ = 0, welche für groſse Ent-
fernungen von der Mündung sowohl auf Seite der negativen wie der positi-
ven x wird:
$\frac{1}{k}\Psi'' = -\frac{AQ}{2\pi}$
und längs der ganzen festen Wand des Luftraumes $\frac{d\Psi}{dn} = 0$. Offenbar ist
unter diesen Umständen Ψ″ im ganzen Raume constant. Hierbei wird dann
ersichtlich, daſs in der Oeffnung nicht blos, wie wir schon gesehen, die Gröſse
$\int\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}d\omega$, sondern auch $\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}$ selbst mit k zugleich verschwindet.

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§. 7.

Die bisher gewonnenen Sätze lassen nun eine Reihe allgemeiner Fol-
gerungen ziehen nicht blos über die Lage der Schwingungs-Minima und Maxima
(Knoten und Bäuche der Schwingungen) und die davon abhängende Höhe der
natürlichen Töne der Röhre, die wir als Töne stärkster Resonanz cha-
racterisiren können, welche Aufgaben schon die bisherigen Theorien mehr
oder weniger genügend behandelt haben, sondern sie geben uns für eine Reihe
besonderer Erregungsweisen der Töne auch bestimmte Auskunft über die
Stärke und Phasen der in der Röhre erregten Schwingungen.

Die Geschwindigkeit der Lufttheilchen ist aus (12^a.) berechnet
(13.) $\frac{d\Psi}{dx} = \frac{A}{\cos k\alpha}\cos k(x-\alpha)\cos(2\pi nt)+\frac{Ak^2Q}{2\pi}\sin kx\sin(2\pi nt)$
oder