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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832.

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Ausfluss bei veränderlicher Druckhöhe.
§. 119.

Findet ein Ausfluss aus Behältern Statt, welche keinen Zufluss erhal-
ten, so müssen offenbar die Geschwindigkeiten des ausfliessenden Wassers wie dieFig.
25.
Tab.
46.
Quadratwurzeln aus den Druckhöhen abnehmen, folglich dieselbe gleichförmig
verzögerte Bewegung eintreten, als wenn ein Körper senkrecht in die Höhe ge-
worfen wird. Nennen wir daher die Druckhöhe oder die Höhe des Wasserstandes zu
Anfange des Ausflusses = A, so ist die anfängliche Geschwindigkeit = 2 [Formel 1] und die
Endgeschwindigkeit 2 sqrt g . 0 = 0, demnach die mittlere Geschwindigkeit des Ausflusses
c = [Formel 2] und die mittlere Quantität, welche in 1 Sekunde ausläuft = m . f [Formel 3] .
Wenn also T die Zeit ist, in welcher das ganze Wasser F . A aus dem Gefässe aus-
fliesst, so ist T . m . f . [Formel 4] = F . A, woraus die Zeit T = [Formel 5] folgt *)

Auf gleiche Art lässt sich auch die Zeit t berechnen, in welcher das Gefäss bis
auf eine bestimmte Höhe a ausläuft und zwar hat man hierzu zweierlei Methoden.

Nach dem vorigen ist die Zeit, in welcher das ganze Gefäss ausfliesst,
T = [Formel 13] und die Zeit t', in welcher der übrige Theil, dessen Höhe a ist, aus-
fliesst t' = [Formel 14] , folglich die Zeit, in welcher das Wasser von der Höhe A auf
a herabkommt = T -- t' = t = [Formel 15] .
Wird hier der frühere Werth von T substituirt, so ist t = T [Formel 16] . (I)

Auf eine andere Weise lässt sich diess auch so berechnen. Es ist offenbar, dass
die anfängliche Geschwindigkeit = 2 [Formel 17] und die Endgeschwindigkeit, wenn nur
noch die Wasserhöhe a im Gefässe ist = 2 [Formel 18] , demnach die mittlere Geschwindig-
keit des Ausflusses = [Formel 19] seyn müsse. Hieraus folgt
t . m . f [Formel 20] = F (A--a) und t = [Formel 21] (II).

*) Das prismatische Gefäss Fig. 25 sey am Boden mit einer kleinen Oeffnung versehen, die horizon-Fig.
25.
tale Querschnittsfläche desselben sey = F und die Fläche der Oeffnung = f, endlich die Höhe des
Wasserstandes A B = A. Die Geschwindigkeit im ersten Augenblicke des Ausflusses wird demnach
= 2 [Formel 6] seyn; da aber die Oberfläche des Wassers im Gefässe fortwährend fällt, so sey die
noch übrige Höhe des Wassers M B = x und daher die Geschwindigkeit für diese Höhe des
Wassers = 2 [Formel 7] . Die in der Zeit d t ausfliessende Wassermenge ist nun
= d t . m . f . 2 [Formel 8] = -- F . d x, da das Wasser fällt, folglich die Höhe x in der Zeit d t um d x
vermindert wird. Hieraus folgt d t = -- [Formel 9] . Wird diese Gleichung integrirt, so er-
halten wir t = [Formel 10] , weil bei dem Anfange des Ausflusses t = 0 und x = A ist.
Wenn wir x = 0 setzen, so erhalten wir die Zeit des ganzen Ausflusses T = [Formel 11] . Hieraus
folgt A = [Formel 12] . g. T2 oder die Höhen des Wassers im Behälter sind den Qua-
draten der Zeit ihres Abflusses proporzional.
21*
Ausfluss bei veränderlicher Druckhöhe.
§. 119.

Findet ein Ausfluss aus Behältern Statt, welche keinen Zufluss erhal-
ten, so müssen offenbar die Geschwindigkeiten des ausfliessenden Wassers wie dieFig.
25.
Tab.
46.
Quadratwurzeln aus den Druckhöhen abnehmen, folglich dieselbe gleichförmig
verzögerte Bewegung eintreten, als wenn ein Körper senkrecht in die Höhe ge-
worfen wird. Nennen wir daher die Druckhöhe oder die Höhe des Wasserstandes zu
Anfange des Ausflusses = A, so ist die anfängliche Geschwindigkeit = 2 [Formel 1] und die
Endgeschwindigkeit 2 √ g . 0 = 0, demnach die mittlere Geschwindigkeit des Ausflusses
c = [Formel 2] und die mittlere Quantität, welche in 1 Sekunde ausläuft = m . f [Formel 3] .
Wenn also T die Zeit ist, in welcher das ganze Wasser F . A aus dem Gefässe aus-
fliesst, so ist T . m . f . [Formel 4] = F . A, woraus die Zeit T = [Formel 5] folgt *)

Auf gleiche Art lässt sich auch die Zeit t berechnen, in welcher das Gefäss bis
auf eine bestimmte Höhe a ausläuft und zwar hat man hierzu zweierlei Methoden.

Nach dem vorigen ist die Zeit, in welcher das ganze Gefäss ausfliesst,
T = [Formel 13] und die Zeit t', in welcher der übrige Theil, dessen Höhe a ist, aus-
fliesst t' = [Formel 14] , folglich die Zeit, in welcher das Wasser von der Höhe A auf
a herabkommt = T — t' = t = [Formel 15] .
Wird hier der frühere Werth von T substituirt, so ist t = T [Formel 16] . (I)

Auf eine andere Weise lässt sich diess auch so berechnen. Es ist offenbar, dass
die anfängliche Geschwindigkeit = 2 [Formel 17] und die Endgeschwindigkeit, wenn nur
noch die Wasserhöhe a im Gefässe ist = 2 [Formel 18] , demnach die mittlere Geschwindig-
keit des Ausflusses = [Formel 19] seyn müsse. Hieraus folgt
t . m . f [Formel 20] = F (A—a) und t = [Formel 21] (II).

*) Das prismatische Gefäss Fig. 25 sey am Boden mit einer kleinen Oeffnung versehen, die horizon-Fig.
25.
tale Querschnittsfläche desselben sey = F und die Fläche der Oeffnung = f, endlich die Höhe des
Wasserstandes A B = A. Die Geschwindigkeit im ersten Augenblicke des Ausflusses wird demnach
= 2 [Formel 6] seyn; da aber die Oberfläche des Wassers im Gefässe fortwährend fällt, so sey die
noch übrige Höhe des Wassers M B = x und daher die Geschwindigkeit für diese Höhe des
Wassers = 2 [Formel 7] . Die in der Zeit d t ausfliessende Wassermenge ist nun
= d t . m . f . 2 [Formel 8] = — F . d x, da das Wasser fällt, folglich die Höhe x in der Zeit d t um d x
vermindert wird. Hieraus folgt d t = — [Formel 9] . Wird diese Gleichung integrirt, so er-
halten wir t = [Formel 10] , weil bei dem Anfange des Ausflusses t = 0 und x = A ist.
Wenn wir x = 0 setzen, so erhalten wir die Zeit des ganzen Ausflusses T = [Formel 11] . Hieraus
folgt A = [Formel 12] . g. T2 oder die Höhen des Wassers im Behälter sind den Qua-
draten der Zeit ihres Abflusses proporzional.
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[163/0181] Ausfluss bei veränderlicher Druckhöhe. §. 119. Findet ein Ausfluss aus Behältern Statt, welche keinen Zufluss erhal- ten, so müssen offenbar die Geschwindigkeiten des ausfliessenden Wassers wie die Quadratwurzeln aus den Druckhöhen abnehmen, folglich dieselbe gleichförmig verzögerte Bewegung eintreten, als wenn ein Körper senkrecht in die Höhe ge- worfen wird. Nennen wir daher die Druckhöhe oder die Höhe des Wasserstandes zu Anfange des Ausflusses = A, so ist die anfängliche Geschwindigkeit = 2 [FORMEL] und die Endgeschwindigkeit 2 √ g . 0 = 0, demnach die mittlere Geschwindigkeit des Ausflusses c = [FORMEL] und die mittlere Quantität, welche in 1 Sekunde ausläuft = m . f [FORMEL]. Wenn also T die Zeit ist, in welcher das ganze Wasser F . A aus dem Gefässe aus- fliesst, so ist T . m . f . [FORMEL] = F . A, woraus die Zeit T = [FORMEL] folgt *) Fig. 25. Tab. 46. Auf gleiche Art lässt sich auch die Zeit t berechnen, in welcher das Gefäss bis auf eine bestimmte Höhe a ausläuft und zwar hat man hierzu zweierlei Methoden. Nach dem vorigen ist die Zeit, in welcher das ganze Gefäss ausfliesst, T = [FORMEL] und die Zeit t', in welcher der übrige Theil, dessen Höhe a ist, aus- fliesst t' = [FORMEL], folglich die Zeit, in welcher das Wasser von der Höhe A auf a herabkommt = T — t' = t = [FORMEL]. Wird hier der frühere Werth von T substituirt, so ist t = T [FORMEL]. (I) Auf eine andere Weise lässt sich diess auch so berechnen. Es ist offenbar, dass die anfängliche Geschwindigkeit = 2 [FORMEL] und die Endgeschwindigkeit, wenn nur noch die Wasserhöhe a im Gefässe ist = 2 [FORMEL], demnach die mittlere Geschwindig- keit des Ausflusses = [FORMEL] seyn müsse. Hieraus folgt t . m . f [FORMEL] = F (A—a) und t = [FORMEL] (II). *) Das prismatische Gefäss Fig. 25 sey am Boden mit einer kleinen Oeffnung versehen, die horizon- tale Querschnittsfläche desselben sey = F und die Fläche der Oeffnung = f, endlich die Höhe des Wasserstandes A B = A. Die Geschwindigkeit im ersten Augenblicke des Ausflusses wird demnach = 2 [FORMEL] seyn; da aber die Oberfläche des Wassers im Gefässe fortwährend fällt, so sey die noch übrige Höhe des Wassers M B = x und daher die Geschwindigkeit für diese Höhe des Wassers = 2 [FORMEL]. Die in der Zeit d t ausfliessende Wassermenge ist nun = d t . m . f . 2 [FORMEL] = — F . d x, da das Wasser fällt, folglich die Höhe x in der Zeit d t um d x vermindert wird. Hieraus folgt d t = — [FORMEL]. Wird diese Gleichung integrirt, so er- halten wir t = [FORMEL], weil bei dem Anfange des Ausflusses t = 0 und x = A ist. Wenn wir x = 0 setzen, so erhalten wir die Zeit des ganzen Ausflusses T = [FORMEL]. Hieraus folgt A = [FORMEL] . g. T2 oder die Höhen des Wassers im Behälter sind den Qua- draten der Zeit ihres Abflusses proporzional. 21*

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 2: Mechanik flüssiger Körper. Prag, 1832, S. 163. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik02_1832/181>, abgerufen am 18.12.2024.