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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Arbeiten ohne Maschinen.
§. 39.

Wir kommen nun zu dem zweiten Falle, der bei dem Tragen der Lasten statt findet:

Ein Arbeiter erhält eine bestimmte Last Q zu tragen, es frägt
sich, wie soll er seine Arbeit einrichten, d. h. mit welcher Geschwin-
digkeit (v) und durch wie viele Stunden (z) muss derselbe gehen, um
mit dieser Last in einem Tage so weit als möglich zu kommen?

Die von dem Arbeiter getragene Last ist nach unserer allgemeinen Bestimmung eben
so gross, als die Kraft und daher [Formel 1] (I.)

Auf gleiche Weise ist der Raum, welchen der Arbeiter mit dieser Last zurücklegt,
S = 3600. z. v. (II.)

Wir haben daher zwei Gleichungen, welche zur Auflösung der vorstehenden Auf-
gabe dienen; hierin ist Q nach den Bedingnissen der Aufgabe gegeben, und k, c, t sind
nach der individuellen Beschaffenheit des verwendeten Arbeiters ebenfalls bekannt; es
bleiben daher die 3 Grössen v, z und S zu bestimmen, wozu wir, da oben bloss zwei Glei-
chungen angeführt wurden, noch eine dritte finden müssen.

Multiplicirt und dividirt man die letzte Gleichung mit c und mit t, so ist:
[Formel 2] , welches nach den Bedingungen der Aufgabe ein Maximum wer-
den muss; da nun das Verhältniss [Formel 3] zur Vermehrung des Raumes S eben so viel als [Formel 4]
beiträgt, so muss für den Fall des Maximum [Formel 5] seyn (III.) (*) diess ist die dritte
Gleichung, womit wir nunmehr die Aufgabe auflösen können. Substituirt man nämlich den
gefundenen Werth in die erste Gleichung, so ist: [Formel 14] oder [Formel 15]
woraus [Formel 16] , dann [Formel 17] , endlich [Formel 18]
folgt.

Wäre die Last Q, welche man dem Tagelöhner zu tragen gibt, seiner mittlern Kraft
k gleich, so würde: v = c (2 -- sqrt 1) = c, dann z = t und S = 3600. t. c seyn, wie
sich bereits bei der vorigen Aufgabe §. 35. zeigte.

(*) Die Auflösung mittelst der höheren Analysis geschieht auf folgende Art: Soll der Raum 3600. z. v
ein Maximum seyn, so folgt nach den Principien der Differentialrechnung z. d v + v. d z = o,
sonach d v = -- [Formel 6] . Weil aber die Last, welche der Arbeiter zu tragen hat, [Formel 7]
eine gegebene Grösse ist, so gibt das Differentiale dieser Gleichung -- [Formel 8] .
Wird in dieser Gleichung der vorige Werth d v = -- [Formel 9] substituirt, so erhalten wir
[Formel 10] , demnach [Formel 11] , woraus folgt
[Formel 12] und [Formel 13] , d. h. es muss das Verhältniss der wirklichen Geschwindigkeit
v zur mittlern c eben dasselbe seyn, welches zwischen den wirklichen Arbeitsstunden z und den mitt-
lern t statt findet.
Arbeiten ohne Maschinen.
§. 39.

Wir kommen nun zu dem zweiten Falle, der bei dem Tragen der Lasten statt findet:

Ein Arbeiter erhält eine bestimmte Last Q zu tragen, es frägt
sich, wie soll er seine Arbeit einrichten, d. h. mit welcher Geschwin-
digkeit (v) und durch wie viele Stunden (z) muss derselbe gehen, um
mit dieser Last in einem Tage so weit als möglich zu kommen?

Die von dem Arbeiter getragene Last ist nach unserer allgemeinen Bestimmung eben
so gross, als die Kraft und daher [Formel 1] (I.)

Auf gleiche Weise ist der Raum, welchen der Arbeiter mit dieser Last zurücklegt,
S = 3600. z. v. (II.)

Wir haben daher zwei Gleichungen, welche zur Auflösung der vorstehenden Auf-
gabe dienen; hierin ist Q nach den Bedingnissen der Aufgabe gegeben, und k, c, t sind
nach der individuellen Beschaffenheit des verwendeten Arbeiters ebenfalls bekannt; es
bleiben daher die 3 Grössen v, z und S zu bestimmen, wozu wir, da oben bloss zwei Glei-
chungen angeführt wurden, noch eine dritte finden müssen.

Multiplicirt und dividirt man die letzte Gleichung mit c und mit t, so ist:
[Formel 2] , welches nach den Bedingungen der Aufgabe ein Maximum wer-
den muss; da nun das Verhältniss [Formel 3] zur Vermehrung des Raumes S eben so viel als [Formel 4]
beiträgt, so muss für den Fall des Maximum [Formel 5] seyn (III.) (*) diess ist die dritte
Gleichung, womit wir nunmehr die Aufgabe auflösen können. Substituirt man nämlich den
gefundenen Werth in die erste Gleichung, so ist: [Formel 14] oder [Formel 15]
woraus [Formel 16] , dann [Formel 17] , endlich [Formel 18]
folgt.

Wäre die Last Q, welche man dem Tagelöhner zu tragen gibt, seiner mittlern Kraft
k gleich, so würde: v = c (2 — √ 1) = c, dann z = t und S = 3600. t. c seyn, wie
sich bereits bei der vorigen Aufgabe §. 35. zeigte.

(*) Die Auflösung mittelst der höheren Analysis geschieht auf folgende Art: Soll der Raum 3600. z. v
ein Maximum seyn, so folgt nach den Principien der Differentialrechnung z. d v + v. d z = o,
sonach d v = — [Formel 6] . Weil aber die Last, welche der Arbeiter zu tragen hat, [Formel 7]
eine gegebene Grösse ist, so gibt das Differentiale dieser Gleichung — [Formel 8] .
Wird in dieser Gleichung der vorige Werth d v = — [Formel 9] substituirt, so erhalten wir
[Formel 10] , demnach [Formel 11] , woraus folgt
[Formel 12] und [Formel 13] , d. h. es muss das Verhältniss der wirklichen Geschwindigkeit
v zur mittlern c eben dasselbe seyn, welches zwischen den wirklichen Arbeitsstunden z und den mitt-
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[48/0078] Arbeiten ohne Maschinen. §. 39. Wir kommen nun zu dem zweiten Falle, der bei dem Tragen der Lasten statt findet: Ein Arbeiter erhält eine bestimmte Last Q zu tragen, es frägt sich, wie soll er seine Arbeit einrichten, d. h. mit welcher Geschwin- digkeit (v) und durch wie viele Stunden (z) muss derselbe gehen, um mit dieser Last in einem Tage so weit als möglich zu kommen? Die von dem Arbeiter getragene Last ist nach unserer allgemeinen Bestimmung eben so gross, als die Kraft und daher [FORMEL] (I.) Auf gleiche Weise ist der Raum, welchen der Arbeiter mit dieser Last zurücklegt, S = 3600. z. v. (II.) Wir haben daher zwei Gleichungen, welche zur Auflösung der vorstehenden Auf- gabe dienen; hierin ist Q nach den Bedingnissen der Aufgabe gegeben, und k, c, t sind nach der individuellen Beschaffenheit des verwendeten Arbeiters ebenfalls bekannt; es bleiben daher die 3 Grössen v, z und S zu bestimmen, wozu wir, da oben bloss zwei Glei- chungen angeführt wurden, noch eine dritte finden müssen. Multiplicirt und dividirt man die letzte Gleichung mit c und mit t, so ist: [FORMEL], welches nach den Bedingungen der Aufgabe ein Maximum wer- den muss; da nun das Verhältniss [FORMEL] zur Vermehrung des Raumes S eben so viel als [FORMEL] beiträgt, so muss für den Fall des Maximum [FORMEL] seyn (III.) (*) diess ist die dritte Gleichung, womit wir nunmehr die Aufgabe auflösen können. Substituirt man nämlich den gefundenen Werth in die erste Gleichung, so ist: [FORMEL] oder [FORMEL] woraus [FORMEL], dann [FORMEL], endlich [FORMEL] folgt. Wäre die Last Q, welche man dem Tagelöhner zu tragen gibt, seiner mittlern Kraft k gleich, so würde: v = c (2 — √ 1) = c, dann z = t und S = 3600. t. c seyn, wie sich bereits bei der vorigen Aufgabe §. 35. zeigte. (*) Die Auflösung mittelst der höheren Analysis geschieht auf folgende Art: Soll der Raum 3600. z. v ein Maximum seyn, so folgt nach den Principien der Differentialrechnung z. d v + v. d z = o, sonach d v = — [FORMEL]. Weil aber die Last, welche der Arbeiter zu tragen hat, [FORMEL] eine gegebene Grösse ist, so gibt das Differentiale dieser Gleichung — [FORMEL]. Wird in dieser Gleichung der vorige Werth d v = — [FORMEL] substituirt, so erhalten wir [FORMEL], demnach [FORMEL], woraus folgt [FORMEL] und [FORMEL], d. h. es muss das Verhältniss der wirklichen Geschwindigkeit v zur mittlern c eben dasselbe seyn, welches zwischen den wirklichen Arbeitsstunden z und den mitt- lern t statt findet.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 48. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/78>, abgerufen am 26.04.2024.