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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Theorie der Kettenbrücken.

Die in der untern Note gefundenen Gleichungen I bis VI dienen alle vorkommen-
den Abmessungen bei der Kettenlinie der Brücken zu bestimmen.

Fig.
10.
Tab.
20.
ist, so ergibt sich durch diese Substitution in den letzten Ausdruck, d y = [Formel 1]
und wenn statt H sein Werth (G. F + g. f) r gesetzt und G. F + g. f zum gemeinschaftlichen Fak-
tor gemacht wird, so erhält man auch d y = [Formel 2] , oder wenn wir der Kürze wegen
[Formel 3] setzen, d y = [Formel 4] . Das Integral dieses Ausdruckes
ist y = [Formel 5] . Arc. tang ( [Formel 6] . tang v). Weil aber d x = d y. tang v = [Formel 7] ist, so
gibt das Integral dieses Ausdruckes für die Abscisse x = [Formel 8] . log (1 + m. tang2 v).
Da die transcendentale Form dieser Integralien nicht die nöthige Uibersicht dieses Gegenstandes
gewährt, und für die Anwendung zu unbequem ist, so finden wir es für angemessener, hier die
Annäherung durch die steigenden Potenzen von tang2 v zu wählen; welches um so mehr gesche-
hen kann, als tang v bei den englischen Kettenbrücken immer nur eine sehr kleine Grösse (bei der Me-
nai
brücke nur höchstens 0,331) ist, von welcher die höhern Potenzen noch kleiner werden. Diese kleinen
Grössen können wir in unserer Rechnung um so mehr vernachlässigen, als sie durch ihre Coeffizien-
ten noch mehr vermindert werden. Hiernach ist also d y = r. d tang v (1 -- m. tang2 v + m2. tang4 v ...)
Das Integral dieser Gleichung gibt für die Ordinate [Formel 9] = tang v [Formel 10] (I.)
Da aber d x = d y. tang v = r. tang v. d tang v (1 -- m. tang2v + m2. tang4 v .....) ist, so erhalten wir durch
Integration für die Abscisse die Gleichung [Formel 11] tang2 v [Formel 12] (II.)
Wollte man für die Anwendung in den beiden Gleichungen für x und y sich bloss mit den ersten Glie-
dern begnügen und eine Gleichung zwischen x und y für die krumme Linie der Kette suchen, so wäre
y2 = r2. tang2 v und diese durch die zweite x = 1/2 r. tang2 v dividirt, gäbe y2 = 2 r. x, also eine Glei-
chung für die Parabel; mithin entsprechen die ersten Glieder in den Gleichungen I und II der Pa-
rabel und die folgenden geben die Abweichungen der eigentlichen Gleichgewichtslinie von der Parabel.
Für die Länge des Bogens ist d s = [Formel 13] und weil [Formel 14] = sqrt (1 + tang2 v) = 1 + 1/2 tang2v -- 1/8 tang4v ...
ist, so gibt die Multiplikation dieser Funktion mit jener für d y oben aufgestellten
[Formel 15] = d tang v [Formel 16] oder
[Formel 17] = d tang v [Formel 18] , welches integrirt für die
Länge des Bogens [Formel 19] = tang v [Formel 20] (III) gibt.
Wird die Gleichung I zum Quadrat erhoben und mit II dividirt, und hiebei die Glieder mit den 6ten
Potenzen von tang v als unbedeutend vernachlässigt, so erhalten wir
[Formel 21] . tang2v + [Formel 22] . tang4. v.
Nun gibt aber die Gleichung II durch Näherung tang2 v = [Formel 23] und tang4 v = [Formel 24] .
Diese Werthe in die letzte Gleichung gesetzt, geben [Formel 25] (IV).
Wird auf gleiche Art die Gleichung III durch die Gleichung I dividirt und für tang2 v und tang4v
der Näherungswerth gesetzt, so erhält man die Gleichung s = y [Formel 26] (V)
und wenn man hierin mittelst der Gleichung IV den Krümmungshalbmesser r eliminirt, so ist auch
s = y [Formel 27] (VI).
Theorie der Kettenbrücken.

Die in der untern Note gefundenen Gleichungen I bis VI dienen alle vorkommen-
den Abmessungen bei der Kettenlinie der Brücken zu bestimmen.

Fig.
10.
Tab.
20.
ist, so ergibt sich durch diese Substitution in den letzten Ausdruck, d y = [Formel 1]
und wenn statt H sein Werth (G. F + g. f) r gesetzt und G. F + g. f zum gemeinschaftlichen Fak-
tor gemacht wird, so erhält man auch d y = [Formel 2] , oder wenn wir der Kürze wegen
[Formel 3] setzen, d y = [Formel 4] . Das Integral dieses Ausdruckes
ist y = [Formel 5] . Arc. tang ( [Formel 6] . tang v). Weil aber d x = d y. tang v = [Formel 7] ist, so
gibt das Integral dieses Ausdruckes für die Abscisse x = [Formel 8] . log (1 + μ. tang2 v).
Da die transcendentale Form dieser Integralien nicht die nöthige Uibersicht dieses Gegenstandes
gewährt, und für die Anwendung zu unbequem ist, so finden wir es für angemessener, hier die
Annäherung durch die steigenden Potenzen von tang2 v zu wählen; welches um so mehr gesche-
hen kann, als tang v bei den englischen Kettenbrücken immer nur eine sehr kleine Grösse (bei der Me-
nai
brücke nur höchstens 0,331) ist, von welcher die höhern Potenzen noch kleiner werden. Diese kleinen
Grössen können wir in unserer Rechnung um so mehr vernachlässigen, als sie durch ihre Coeffizien-
ten noch mehr vermindert werden. Hiernach ist also d y = r. d tang v (1 — μ. tang2 v + μ2. tang4 v …)
Das Integral dieser Gleichung gibt für die Ordinate [Formel 9] = tang v [Formel 10] (I.)
Da aber d x = d y. tang v = r. tang v. d tang v (1 — μ. tang2v + μ2. tang4 v .....) ist, so erhalten wir durch
Integration für die Abscisse die Gleichung [Formel 11] tang2 v [Formel 12] (II.)
Wollte man für die Anwendung in den beiden Gleichungen für x und y sich bloss mit den ersten Glie-
dern begnügen und eine Gleichung zwischen x und y für die krumme Linie der Kette suchen, so wäre
y2 = r2. tang2 v und diese durch die zweite x = ½ r. tang2 v dividirt, gäbe y2 = 2 r. x, also eine Glei-
chung für die Parabel; mithin entsprechen die ersten Glieder in den Gleichungen I und II der Pa-
rabel und die folgenden geben die Abweichungen der eigentlichen Gleichgewichtslinie von der Parabel.
Für die Länge des Bogens ist d s = [Formel 13] und weil [Formel 14] = √ (1 + tang2 v) = 1 + ½ tang2v — ⅛ tang4v …
ist, so gibt die Multiplikation dieser Funktion mit jener für d y oben aufgestellten
[Formel 15] = d tang v [Formel 16] oder
[Formel 17] = d tang v [Formel 18] , welches integrirt für die
Länge des Bogens [Formel 19] = tang v [Formel 20] (III) gibt.
Wird die Gleichung I zum Quadrat erhoben und mit II dividirt, und hiebei die Glieder mit den 6ten
Potenzen von tang v als unbedeutend vernachlässigt, so erhalten wir
[Formel 21] . tang2v + [Formel 22] . tang4. v.
Nun gibt aber die Gleichung II durch Näherung tang2 v = [Formel 23] und tang4 v = [Formel 24] .
Diese Werthe in die letzte Gleichung gesetzt, geben [Formel 25] (IV).
Wird auf gleiche Art die Gleichung III durch die Gleichung I dividirt und für tang2 v und tang4v
der Näherungswerth gesetzt, so erhält man die Gleichung s = y [Formel 26] (V)
und wenn man hierin mittelst der Gleichung IV den Krümmungshalbmesser r eliminirt, so ist auch
s = y [Formel 27] (VI).
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[476/0506] Theorie der Kettenbrücken. Die in der untern Note gefundenen Gleichungen I bis VI dienen alle vorkommen- den Abmessungen bei der Kettenlinie der Brücken zu bestimmen. *) *) ist, so ergibt sich durch diese Substitution in den letzten Ausdruck, d y = [FORMEL] und wenn statt H sein Werth (G. F + g. f) r gesetzt und G. F + g. f zum gemeinschaftlichen Fak- tor gemacht wird, so erhält man auch d y = [FORMEL], oder wenn wir der Kürze wegen [FORMEL] setzen, d y = [FORMEL]. Das Integral dieses Ausdruckes ist y = [FORMEL]. Arc. tang ([FORMEL]. tang v). Weil aber d x = d y. tang v = [FORMEL] ist, so gibt das Integral dieses Ausdruckes für die Abscisse x = [FORMEL]. log (1 + μ. tang2 v). Da die transcendentale Form dieser Integralien nicht die nöthige Uibersicht dieses Gegenstandes gewährt, und für die Anwendung zu unbequem ist, so finden wir es für angemessener, hier die Annäherung durch die steigenden Potenzen von tang2 v zu wählen; welches um so mehr gesche- hen kann, als tang v bei den englischen Kettenbrücken immer nur eine sehr kleine Grösse (bei der Me- naibrücke nur höchstens 0,331) ist, von welcher die höhern Potenzen noch kleiner werden. Diese kleinen Grössen können wir in unserer Rechnung um so mehr vernachlässigen, als sie durch ihre Coeffizien- ten noch mehr vermindert werden. Hiernach ist also d y = r. d tang v (1 — μ. tang2 v + μ2. tang4 v …) Das Integral dieser Gleichung gibt für die Ordinate [FORMEL] = tang v [FORMEL] (I.) Da aber d x = d y. tang v = r. tang v. d tang v (1 — μ. tang2v + μ2. tang4 v .....) ist, so erhalten wir durch Integration für die Abscisse die Gleichung [FORMEL] tang2 v [FORMEL] (II.) Wollte man für die Anwendung in den beiden Gleichungen für x und y sich bloss mit den ersten Glie- dern begnügen und eine Gleichung zwischen x und y für die krumme Linie der Kette suchen, so wäre y2 = r2. tang2 v und diese durch die zweite x = ½ r. tang2 v dividirt, gäbe y2 = 2 r. x, also eine Glei- chung für die Parabel; mithin entsprechen die ersten Glieder in den Gleichungen I und II der Pa- rabel und die folgenden geben die Abweichungen der eigentlichen Gleichgewichtslinie von der Parabel. Für die Länge des Bogens ist d s = [FORMEL] und weil [FORMEL] = √ (1 + tang2 v) = 1 + ½ tang2v — ⅛ tang4v … ist, so gibt die Multiplikation dieser Funktion mit jener für d y oben aufgestellten [FORMEL] = d tang v [FORMEL] oder [FORMEL] = d tang v [FORMEL], welches integrirt für die Länge des Bogens [FORMEL] = tang v [FORMEL] (III) gibt. Wird die Gleichung I zum Quadrat erhoben und mit II dividirt, und hiebei die Glieder mit den 6ten Potenzen von tang v als unbedeutend vernachlässigt, so erhalten wir [FORMEL]. tang2v + [FORMEL]. tang4. v. Nun gibt aber die Gleichung II durch Näherung tang2 v = [FORMEL] und tang4 v = [FORMEL]. Diese Werthe in die letzte Gleichung gesetzt, geben [FORMEL] (IV). Wird auf gleiche Art die Gleichung III durch die Gleichung I dividirt und für tang2 v und tang4v der Näherungswerth gesetzt, so erhält man die Gleichung s = y [FORMEL] (V) und wenn man hierin mittelst der Gleichung IV den Krümmungshalbmesser r eliminirt, so ist auch s = y [FORMEL] (VI).

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 476. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/506>, abgerufen am 28.09.2020.