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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Theorie der Kettenbrücken.
Fig.
8.
Tab.
20.
Dreiecke b r w erhalten wir daher auch die Proportion b r : r w oder H : 1/2 P + Q = 1 : tang b
und hieraus für den Stellungswinkel der Seite b c die Gleichung tang [Formel 1] . Durch
die Spannkraft der Seite b c wirkt also in dem Punkte c die horizontale Kraft b r = H
(= c k) und die senkrechte b u = 1/2 P + Q (= c g). Zu dieser letztern muss abermal
die Last R hinzugesetzt werden. Dadurch erhalten wir im Punkte c die senkrechte
Kraft
1/2 P + Q + R = c f und die horizontale H = c k, welche durch das Paralle-
logramm c k e f zusammengesetzt die mittlere c e oder die Richtung der Seite c d geben.

Ziehen wir abermal durch den Punkt d die horizontale d d' parallel zu c c', so ist der
Stellungswinkel der dritten Seite c d d' = g = e c k und in dem rechtwinklichten Dreiecke
e c k ergibt sich die Proportion c k : k e oder H : 1/2 P + Q + R = 1 : tang g, woraus für den Stel-
lungswinkel die Gleichung tang [Formel 2] folgt. Auf gleiche Art würde man bei d zur
senkrechten Kraft 1/2 P + Q + R noch die Kraft S hinzuzusetzen haben, wo sonach durch
die Verbindung dieser Kraft mit der horizontalen H für den Stellungswinkel der folgenden
Seite die Gleichung tang [Formel 3] sich ergeben würde u. s. w.

Wir sehen aus dieser Theorie, dass in jedem Punkte des Polygons der hori-
zontale Druck dieselbe Grösse behält, der senkrechte Druck aber für jeden Punkt
dem Gewichte des daranhängenden belasteten Polygons bis zum tiefsten Punkte a gleich-
kommt, und dass endlich für die Grösse des Stellungswinkels sich die Tangente ergibt,
wenn der gesammte senkrechte Druck an jedem Punkte durch den horizontalen dividirt
wird. Bringen wir alle obigen Gleichungen in eine Proportion, so ist
tang a : tang b : tang g : ..... = 1/2 P : 1/2 P + Q : 1/2 P + Q + R : ......

Wenn nebst den Gewichten P, Q, R, ..... noch die Kettenglieder a b, b c, c d ..... die
eigenthümlichen Gewichte A, B, C ..... besitzen, so erhellet von selbst, da je-
des Kettenglied die Endpunkte zu beiden Seiten mit dem halben Gewichte belastet, dass
auf solche Art bei a zur Last 1/2 P noch 1/2 A, bei b zur Belastung Q noch 1/2 A + 1/2 B, bei c
zur Belastung R noch 1/2 B + 1/2 C u. s. w. zugesetzt werden müsse, dadurch erhalten wir
tang a : tang b : tang g : ... = 1/2 P + 1/2 A : 1/2 P + Q + A + 1/2 B : 1/2 P + Q + R + A + B + 1/2 C : ....
Hieraus ergibt sich von selbst, dass für den Fall, wenn die Kette nur durch ihr ei-
genes Gewicht
belastet ist, folglich P = Q = R ..... = 0 gesetzt werden,
tang a : tang b : tang g : ..... = 1/2 A : A + 1/2 B : A + B + 1/2 C ...... statt
finden werde, welches dieselbe Proportion ist, die wir §. 366 bei den Gewölben angege-
ben und mit dem Namen der Kettenlinie bezeichnet haben.

§. 425.

Es wäre zu weitläufig, für ein jedes Kettenglied die Spannung und die Stellungswin-
kel desselben berechnen, und hiernach den Kettenbogen verzeichnen zu wollen; in die-
ser Hinsicht betrachtet man die Kettenglieder als unendlich klein, wodurch ihre Stel-
lungslinien in eine krumme Linie übergehen. Bevor wir aber eine Gleichung für diese
krumme Linie aufsuchen, wollen wir vorläufig die horizontale Spannkraft be-
stimmen. Wir haben oben gezeigt, dass in dem Parallelogramme a m p n die Linie m o
die beständige horizontale Spannung H, und a p die senkrechte Belastung P des Punk-

Theorie der Kettenbrücken.
Fig.
8.
Tab.
20.
Dreiecke b r w erhalten wir daher auch die Proportion b r : r w oder H : ½ P + Q = 1 : tang β
und hieraus für den Stellungswinkel der Seite b c die Gleichung tang [Formel 1] . Durch
die Spannkraft der Seite b c wirkt also in dem Punkte c die horizontale Kraft b r = H
(= c k) und die senkrechte b u = ½ P + Q (= c g). Zu dieser letztern muss abermal
die Last R hinzugesetzt werden. Dadurch erhalten wir im Punkte c die senkrechte
Kraft
½ P + Q + R = c f und die horizontale H = c k, welche durch das Paralle-
logramm c k e f zusammengesetzt die mittlere c e oder die Richtung der Seite c d geben.

Ziehen wir abermal durch den Punkt d die horizontale d d' parallel zu c c', so ist der
Stellungswinkel der dritten Seite c d d' = γ = e c k und in dem rechtwinklichten Dreiecke
e c k ergibt sich die Proportion c k : k e oder H : ½ P + Q + R = 1 : tang γ, woraus für den Stel-
lungswinkel die Gleichung tang [Formel 2] folgt. Auf gleiche Art würde man bei d zur
senkrechten Kraft ½ P + Q + R noch die Kraft S hinzuzusetzen haben, wo sonach durch
die Verbindung dieser Kraft mit der horizontalen H für den Stellungswinkel der folgenden
Seite die Gleichung tang [Formel 3] sich ergeben würde u. s. w.

Wir sehen aus dieser Theorie, dass in jedem Punkte des Polygons der hori-
zontale Druck dieselbe Grösse behält, der senkrechte Druck aber für jeden Punkt
dem Gewichte des daranhängenden belasteten Polygons bis zum tiefsten Punkte a gleich-
kommt, und dass endlich für die Grösse des Stellungswinkels sich die Tangente ergibt,
wenn der gesammte senkrechte Druck an jedem Punkte durch den horizontalen dividirt
wird. Bringen wir alle obigen Gleichungen in eine Proportion, so ist
tang α : tang β : tang γ : ..... = ½ P : ½ P + Q : ½ P + Q + R : ......

Wenn nebst den Gewichten P, Q, R, ..... noch die Kettenglieder a b, b c, c d ..... die
eigenthümlichen Gewichte A, B, C ..... besitzen, so erhellet von selbst, da je-
des Kettenglied die Endpunkte zu beiden Seiten mit dem halben Gewichte belastet, dass
auf solche Art bei a zur Last ½ P noch ½ A, bei b zur Belastung Q noch ½ A + ½ B, bei c
zur Belastung R noch ½ B + ½ C u. s. w. zugesetzt werden müsse, dadurch erhalten wir
tang α : tang β : tang γ : … = ½ P + ½ A : ½ P + Q + A + ½ B : ½ P + Q + R + A + B + ½ C : ....
Hieraus ergibt sich von selbst, dass für den Fall, wenn die Kette nur durch ihr ei-
genes Gewicht
belastet ist, folglich P = Q = R ..... = 0 gesetzt werden,
tang α : tang β : tang γ : ..... = ½ A : A + ½ B : A + B + ½ C ...... statt
finden werde, welches dieselbe Proportion ist, die wir §. 366 bei den Gewölben angege-
ben und mit dem Namen der Kettenlinie bezeichnet haben.

§. 425.

Es wäre zu weitläufig, für ein jedes Kettenglied die Spannung und die Stellungswin-
kel desselben berechnen, und hiernach den Kettenbogen verzeichnen zu wollen; in die-
ser Hinsicht betrachtet man die Kettenglieder als unendlich klein, wodurch ihre Stel-
lungslinien in eine krumme Linie übergehen. Bevor wir aber eine Gleichung für diese
krumme Linie aufsuchen, wollen wir vorläufig die horizontale Spannkraft be-
stimmen. Wir haben oben gezeigt, dass in dem Parallelogramme a m p n die Linie m o
die beständige horizontale Spannung H, und a p die senkrechte Belastung P des Punk-

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[474/0504] Theorie der Kettenbrücken. Dreiecke b r w erhalten wir daher auch die Proportion b r : r w oder H : ½ P + Q = 1 : tang β und hieraus für den Stellungswinkel der Seite b c die Gleichung tang [FORMEL]. Durch die Spannkraft der Seite b c wirkt also in dem Punkte c die horizontale Kraft b r = H (= c k) und die senkrechte b u = ½ P + Q (= c g). Zu dieser letztern muss abermal die Last R hinzugesetzt werden. Dadurch erhalten wir im Punkte c die senkrechte Kraft ½ P + Q + R = c f und die horizontale H = c k, welche durch das Paralle- logramm c k e f zusammengesetzt die mittlere c e oder die Richtung der Seite c d geben. Fig. 8. Tab. 20. Ziehen wir abermal durch den Punkt d die horizontale d d' parallel zu c c', so ist der Stellungswinkel der dritten Seite c d d' = γ = e c k und in dem rechtwinklichten Dreiecke e c k ergibt sich die Proportion c k : k e oder H : ½ P + Q + R = 1 : tang γ, woraus für den Stel- lungswinkel die Gleichung tang [FORMEL] folgt. Auf gleiche Art würde man bei d zur senkrechten Kraft ½ P + Q + R noch die Kraft S hinzuzusetzen haben, wo sonach durch die Verbindung dieser Kraft mit der horizontalen H für den Stellungswinkel der folgenden Seite die Gleichung tang [FORMEL] sich ergeben würde u. s. w. Wir sehen aus dieser Theorie, dass in jedem Punkte des Polygons der hori- zontale Druck dieselbe Grösse behält, der senkrechte Druck aber für jeden Punkt dem Gewichte des daranhängenden belasteten Polygons bis zum tiefsten Punkte a gleich- kommt, und dass endlich für die Grösse des Stellungswinkels sich die Tangente ergibt, wenn der gesammte senkrechte Druck an jedem Punkte durch den horizontalen dividirt wird. Bringen wir alle obigen Gleichungen in eine Proportion, so ist tang α : tang β : tang γ : ..... = ½ P : ½ P + Q : ½ P + Q + R : ...... Wenn nebst den Gewichten P, Q, R, ..... noch die Kettenglieder a b, b c, c d ..... die eigenthümlichen Gewichte A, B, C ..... besitzen, so erhellet von selbst, da je- des Kettenglied die Endpunkte zu beiden Seiten mit dem halben Gewichte belastet, dass auf solche Art bei a zur Last ½ P noch ½ A, bei b zur Belastung Q noch ½ A + ½ B, bei c zur Belastung R noch ½ B + ½ C u. s. w. zugesetzt werden müsse, dadurch erhalten wir tang α : tang β : tang γ : … = ½ P + ½ A : ½ P + Q + A + ½ B : ½ P + Q + R + A + B + ½ C : .... Hieraus ergibt sich von selbst, dass für den Fall, wenn die Kette nur durch ihr ei- genes Gewicht belastet ist, folglich P = Q = R ..... = 0 gesetzt werden, tang α : tang β : tang γ : ..... = ½ A : A + ½ B : A + B + ½ C ...... statt finden werde, welches dieselbe Proportion ist, die wir §. 366 bei den Gewölben angege- ben und mit dem Namen der Kettenlinie bezeichnet haben. §. 425. Es wäre zu weitläufig, für ein jedes Kettenglied die Spannung und die Stellungswin- kel desselben berechnen, und hiernach den Kettenbogen verzeichnen zu wollen; in die- ser Hinsicht betrachtet man die Kettenglieder als unendlich klein, wodurch ihre Stel- lungslinien in eine krumme Linie übergehen. Bevor wir aber eine Gleichung für diese krumme Linie aufsuchen, wollen wir vorläufig die horizontale Spannkraft be- stimmen. Wir haben oben gezeigt, dass in dem Parallelogramme a m p n die Linie m o die beständige horizontale Spannung H, und a p die senkrechte Belastung P des Punk-

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 474. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/504>, abgerufen am 20.09.2020.