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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Elyptische Brückengewölbe.
1tens. Dass durch alle Punkte der Höhe A B = h vom Scheitel des Gewölbes bis
an die Fahrbahn Linien gezogen werden können, welche mit der untersten durch
B gehenden Stützlinie parallel laufen, demnach auch die Eigenschaft besitzen,
das ganze Gewölbe vollkommen zu unterstützen, und dass sonach der ganze vor-
handene Raum zwischen der untersten und der obersten Stützlinie zur Stütze des
Gewölbes diene.
2tens. Können wir aber auch alle Ordinaten von der Fahrbahn bis zur elyptischen
Fig.
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Gewölblinie nach irgend einem gemeinschaftlichen Verhältnisse z. B. wie 1 : 1/2 thei-
len. Werden nun diese Theilungspunkte B', M', N' und D' mit einander verbun-
den, so erhellet von selbst, dass auch der Raum zwischen der Fahrbahn A W und
dem elyptischen Bogen B D durch die Theilungslinie B' N' D' in zwei gleiche Theile
getheilt, folglich auch die Fläche A B' N' Q die Hälfte von A B N Q seyn werde.

Wenn wir nun für den Raum A B' D' W eine Stützlinie suchen, so ergibt sich aus
der Eigenschaft, dass die Tangenten der Stellungswinkel den zu stützenden Lasten
proportional seyn müssen, tang N' n' o' : tang N n o = [Formel 1] = A B' N' Q : A B N Q = 1 : 2.
Daraus sieht man, dass N' o' = d z' die Hälfte von N o = d z sey; demnach wird auch
nach der Integration der Differenzialgleichung z' = [Formel 2] seyn müssen, weil bei der obern
Stützlinie alles in dem Verhältnisse 1 : 2 sich befindet. Da nun der obere Stützbogen
das obere Gewölbe für sich zu tragen im Stande ist, der untere Stützbogen aber das
ganze Gewölbe trägt, so sieht man von selbst, dass auch nach der Entfernung des
obern der übrig bleibende Theil sich selbst zu stützen im Stande seyn müsse.

Diese Verhältnisse finden aber bei einer jeden andern Theilung statt, es folgt da-
her, dass man zwischen A B und W D unendlich viele Stützlinien er-
halten werde, wovon jede sowohl den ganzen Raum, als auch den
zwischen zwei Stützlinien enthaltenen Raum zu stützen im Stande
ist
. Wir können demnach auf diese Art zwischen A B und W D unendlich viele sol-
che Stützlinien ziehen, welche die ganze Masse zwischen der Fahrbahn und der unter-
sten Stützlinie im Gleichgewichte zu erhalten im Stande sind, so wie diess bereits hin-
sichtlich der Kettenlinie §. 379 bemerkt wurde.

Hiebei ist aber noch zu erinnern, dass für eine jede solche Stützlinie zwar der
senkrechte Druck bei den Widerlagen derselbe bleibe, jedoch der horizontale Druck
für den Fall, wenn zur Unterstützung der Masse A B D W die mittlere Linie B' D' ge-
wählt wird, doppelt so gross seyn werde, als wenn die Masse auf die untere Linie
B D gelegt wird. Dieses erhellet daraus, weil alle Krümmungshalbmesser der mittlern
Stützlinie doppelt so gross als jene für die untere seyn müssen, folglich auch der
Krümmungshalbmesser in B', dem der horizontale Druck bei B' proportional ist, dop-
pelt so gross seyn muss, als der Krümmungshalbmesser in B, welcher dem horizonta-
len Drucke in B proportional ist.

Dass aber die Krümmungshalbmesser um so grösser seyn müssen, je höher der
Punkt B' über den Scheitel B zu liegen kommt, folgt daraus, weil die Biegungen
der Bögen von unten gegen die Fahrbahn aufwärts fortwährend abnehmen, so zwar,

Elyptische Brückengewölbe.
1tens. Dass durch alle Punkte der Höhe A B = h vom Scheitel des Gewölbes bis
an die Fahrbahn Linien gezogen werden können, welche mit der untersten durch
B gehenden Stützlinie parallel laufen, demnach auch die Eigenschaft besitzen,
das ganze Gewölbe vollkommen zu unterstützen, und dass sonach der ganze vor-
handene Raum zwischen der untersten und der obersten Stützlinie zur Stütze des
Gewölbes diene.
2tens. Können wir aber auch alle Ordinaten von der Fahrbahn bis zur elyptischen
Fig.
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Gewölblinie nach irgend einem gemeinschaftlichen Verhältnisse z. B. wie 1 : ½ thei-
len. Werden nun diese Theilungspunkte B', M', N' und D' mit einander verbun-
den, so erhellet von selbst, dass auch der Raum zwischen der Fahrbahn A W und
dem elyptischen Bogen B D durch die Theilungslinie B' N' D' in zwei gleiche Theile
getheilt, folglich auch die Fläche A B' N' Q die Hälfte von A B N Q seyn werde.

Wenn wir nun für den Raum A B' D' W eine Stützlinie suchen, so ergibt sich aus
der Eigenschaft, dass die Tangenten der Stellungswinkel den zu stützenden Lasten
proportional seyn müssen, tang N' n' o' : tang N n o = [Formel 1] = A B' N' Q : A B N Q = 1 : 2.
Daraus sieht man, dass N' o' = d z' die Hälfte von N o = d z sey; demnach wird auch
nach der Integration der Differenzialgleichung z' = [Formel 2] seyn müssen, weil bei der obern
Stützlinie alles in dem Verhältnisse 1 : 2 sich befindet. Da nun der obere Stützbogen
das obere Gewölbe für sich zu tragen im Stande ist, der untere Stützbogen aber das
ganze Gewölbe trägt, so sieht man von selbst, dass auch nach der Entfernung des
obern der übrig bleibende Theil sich selbst zu stützen im Stande seyn müsse.

Diese Verhältnisse finden aber bei einer jeden andern Theilung statt, es folgt da-
her, dass man zwischen A B und W D unendlich viele Stützlinien er-
halten werde, wovon jede sowohl den ganzen Raum, als auch den
zwischen zwei Stützlinien enthaltenen Raum zu stützen im Stande
ist
. Wir können demnach auf diese Art zwischen A B und W D unendlich viele sol-
che Stützlinien ziehen, welche die ganze Masse zwischen der Fahrbahn und der unter-
sten Stützlinie im Gleichgewichte zu erhalten im Stande sind, so wie diess bereits hin-
sichtlich der Kettenlinie §. 379 bemerkt wurde.

Hiebei ist aber noch zu erinnern, dass für eine jede solche Stützlinie zwar der
senkrechte Druck bei den Widerlagen derselbe bleibe, jedoch der horizontale Druck
für den Fall, wenn zur Unterstützung der Masse A B D W die mittlere Linie B' D' ge-
wählt wird, doppelt so gross seyn werde, als wenn die Masse auf die untere Linie
B D gelegt wird. Dieses erhellet daraus, weil alle Krümmungshalbmesser der mittlern
Stützlinie doppelt so gross als jene für die untere seyn müssen, folglich auch der
Krümmungshalbmesser in B', dem der horizontale Druck bei B' proportional ist, dop-
pelt so gross seyn muss, als der Krümmungshalbmesser in B, welcher dem horizonta-
len Drucke in B proportional ist.

Dass aber die Krümmungshalbmesser um so grösser seyn müssen, je höher der
Punkt B' über den Scheitel B zu liegen kommt, folgt daraus, weil die Biegungen
der Bögen von unten gegen die Fahrbahn aufwärts fortwährend abnehmen, so zwar,

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[432/0462] Elyptische Brückengewölbe. 1tens. Dass durch alle Punkte der Höhe A B = h vom Scheitel des Gewölbes bis an die Fahrbahn Linien gezogen werden können, welche mit der untersten durch B gehenden Stützlinie parallel laufen, demnach auch die Eigenschaft besitzen, das ganze Gewölbe vollkommen zu unterstützen, und dass sonach der ganze vor- handene Raum zwischen der untersten und der obersten Stützlinie zur Stütze des Gewölbes diene. 2tens. Können wir aber auch alle Ordinaten von der Fahrbahn bis zur elyptischen Gewölblinie nach irgend einem gemeinschaftlichen Verhältnisse z. B. wie 1 : ½ thei- len. Werden nun diese Theilungspunkte B', M', N' und D' mit einander verbun- den, so erhellet von selbst, dass auch der Raum zwischen der Fahrbahn A W und dem elyptischen Bogen B D durch die Theilungslinie B' N' D' in zwei gleiche Theile getheilt, folglich auch die Fläche A B' N' Q die Hälfte von A B N Q seyn werde. Wenn wir nun für den Raum A B' D' W eine Stützlinie suchen, so ergibt sich aus der Eigenschaft, dass die Tangenten der Stellungswinkel den zu stützenden Lasten proportional seyn müssen, tang N' n' o' : tang N n o = [FORMEL] = A B' N' Q : A B N Q = 1 : 2. Daraus sieht man, dass N' o' = d z' die Hälfte von N o = d z sey; demnach wird auch nach der Integration der Differenzialgleichung z' = [FORMEL] seyn müssen, weil bei der obern Stützlinie alles in dem Verhältnisse 1 : 2 sich befindet. Da nun der obere Stützbogen das obere Gewölbe für sich zu tragen im Stande ist, der untere Stützbogen aber das ganze Gewölbe trägt, so sieht man von selbst, dass auch nach der Entfernung des obern der übrig bleibende Theil sich selbst zu stützen im Stande seyn müsse. Diese Verhältnisse finden aber bei einer jeden andern Theilung statt, es folgt da- her, dass man zwischen A B und W D unendlich viele Stützlinien er- halten werde, wovon jede sowohl den ganzen Raum, als auch den zwischen zwei Stützlinien enthaltenen Raum zu stützen im Stande ist. Wir können demnach auf diese Art zwischen A B und W D unendlich viele sol- che Stützlinien ziehen, welche die ganze Masse zwischen der Fahrbahn und der unter- sten Stützlinie im Gleichgewichte zu erhalten im Stande sind, so wie diess bereits hin- sichtlich der Kettenlinie §. 379 bemerkt wurde. Hiebei ist aber noch zu erinnern, dass für eine jede solche Stützlinie zwar der senkrechte Druck bei den Widerlagen derselbe bleibe, jedoch der horizontale Druck für den Fall, wenn zur Unterstützung der Masse A B D W die mittlere Linie B' D' ge- wählt wird, doppelt so gross seyn werde, als wenn die Masse auf die untere Linie B D gelegt wird. Dieses erhellet daraus, weil alle Krümmungshalbmesser der mittlern Stützlinie doppelt so gross als jene für die untere seyn müssen, folglich auch der Krümmungshalbmesser in B', dem der horizontale Druck bei B' proportional ist, dop- pelt so gross seyn muss, als der Krümmungshalbmesser in B, welcher dem horizonta- len Drucke in B proportional ist. Dass aber die Krümmungshalbmesser um so grösser seyn müssen, je höher der Punkt B' über den Scheitel B zu liegen kommt, folgt daraus, weil die Biegungen der Bögen von unten gegen die Fahrbahn aufwärts fortwährend abnehmen, so zwar,

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 432. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/462>, abgerufen am 20.09.2020.