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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Bewegung über schiefe Flächen.

Da sich dasselbe von einem jeden andern Punkte, der in der horizontalen Linie B C
liegt, beweisen lässt, so folgt, dass die Neigung der schiefen Fläche auf die Geschwin-
Fig.
6.
Tab.
28.digkeit des Körpers keinen Einfluss habe. Zieht man daher aus einem Punkte A mehrere
schiefe Flächen A B, A C, A E .... und lässt nun von diesem Punkte A Körper über
die schiefen Flächen herab laufen, so werden alle diese Körper in denselben Hori-
zontallinien, nämlich in M N, oder in O P, oder in F B .... gleiche Geschwin-
digkeiten haben, nachdem die Körper daselbst gleiche Fallhöhen erlangen. Dieses
wird aber nicht nur bei der Bewegung über gerade Linien, sondern auch bei jener über
eine krumme A F statt finden, indem man eine krumme Linie als aus unendlich vielen
geraden Linien so zusammengesetzt denken kann, dass diese Linien keinen messbaren Win-
kel mit einander bilden.

§. 511.

Wenn ein Körper über eine schiefe Fläche hinab gestossen wird,
die Bewegung desselben ohne Rücksicht auf Reibung zu berechnen.

Es sey die Geschwindigkeit, welche der Körper durch den Stoss erhält = c, so
würde sich derselbe mit gleicher Geschwindigkeit fortwährend bewegen, wenn nicht die
Schwerkraft auf ihn wirken möchte; die Wirkung derselben beträgt nach §. 508 in der
Geschwindigkeit die Grösse [Formel 1] , 2 g . t, folglich wird nach Verlauf der Zeit t die Ge-
schwindigkeit des Körpers, der über eine schiefe Fläche hinabgestossen wird
v = [Formel 2] und auf gleiche Art der Raum S = [Formel 3] seyn.

Auf gleiche Weise wird die Bewegung eines Körpers, welcher über eine schie-
fe Fläche hinauf gestossen wird, berechnet. Es sey die Geschwindigkeit des
Stosses abermal = c, so ist offenbar, dass selbe durch die Schwere um die Grösse
[Formel 4] vermindert wird, sonach wird nach Verlauf der Zeit t die Geschwindigkeit
des Körpers v = [Formel 5] seyn. Die anfängliche Geschwindigkeit des Körpers
ist c, die Endgeschwindigkeit (nämlich nach t Sekunden) ist c -- [Formel 6] , folglich
die mittlere Geschwindigkeit = c -- [Formel 7] . Hieraus findet man den Raum, wel-
chen der Körper in t Sekunden zurücklegt S = [Formel 8] .

Der Körper geht so weit auf der schiefen Fläche hinauf, bis seine Geschwindig-
keit = 0 ist, also bis [Formel 9] = 0, woraus die Zeit t = [Formel 10] folgt. Substi-
tuirt man diesen Werth in den Ausdruck für den Raum, so ist der gesuchte Raum
S = [Formel 11] . Wird hier S = 1, so
ist h = [Formel 12] , d. h. der Körper steigt eben so hoch, als wenn er mit der Geschwindig-
keit c senkrecht hinauf geworfen wird.

§. 512.

Man lasse nun einen Körper (Fig. 7) über die schiefe Fläche A B C D E von A aus-
Fig.
7.laufen, so wird er in C eine Geschwindigkeit haben, welche eben so gross ist, als wenn

Bewegung über schiefe Flächen.

Da sich dasselbe von einem jeden andern Punkte, der in der horizontalen Linie B C
liegt, beweisen lässt, so folgt, dass die Neigung der schiefen Fläche auf die Geschwin-
Fig.
6.
Tab.
28.digkeit des Körpers keinen Einfluss habe. Zieht man daher aus einem Punkte A mehrere
schiefe Flächen A B, A C, A E .... und lässt nun von diesem Punkte A Körper über
die schiefen Flächen herab laufen, so werden alle diese Körper in denselben Hori-
zontallinien, nämlich in M N, oder in O P, oder in F B .... gleiche Geschwin-
digkeiten haben, nachdem die Körper daselbst gleiche Fallhöhen erlangen. Dieses
wird aber nicht nur bei der Bewegung über gerade Linien, sondern auch bei jener über
eine krumme A F statt finden, indem man eine krumme Linie als aus unendlich vielen
geraden Linien so zusammengesetzt denken kann, dass diese Linien keinen messbaren Win-
kel mit einander bilden.

§. 511.

Wenn ein Körper über eine schiefe Fläche hinab gestossen wird,
die Bewegung desselben ohne Rücksicht auf Reibung zu berechnen.

Es sey die Geschwindigkeit, welche der Körper durch den Stoss erhält = c, so
würde sich derselbe mit gleicher Geschwindigkeit fortwährend bewegen, wenn nicht die
Schwerkraft auf ihn wirken möchte; die Wirkung derselben beträgt nach §. 508 in der
Geschwindigkeit die Grösse [Formel 1] , 2 g . t, folglich wird nach Verlauf der Zeit t die Ge-
schwindigkeit des Körpers, der über eine schiefe Fläche hinabgestossen wird
v = [Formel 2] und auf gleiche Art der Raum S = [Formel 3] seyn.

Auf gleiche Weise wird die Bewegung eines Körpers, welcher über eine schie-
fe Fläche hinauf gestossen wird, berechnet. Es sey die Geschwindigkeit des
Stosses abermal = c, so ist offenbar, dass selbe durch die Schwere um die Grösse
[Formel 4] vermindert wird, sonach wird nach Verlauf der Zeit t die Geschwindigkeit
des Körpers v = [Formel 5] seyn. Die anfängliche Geschwindigkeit des Körpers
ist c, die Endgeschwindigkeit (nämlich nach t Sekunden) ist c — [Formel 6] , folglich
die mittlere Geschwindigkeit = c — [Formel 7] . Hieraus findet man den Raum, wel-
chen der Körper in t Sekunden zurücklegt S = [Formel 8] .

Der Körper geht so weit auf der schiefen Fläche hinauf, bis seine Geschwindig-
keit = 0 ist, also bis [Formel 9] = 0, woraus die Zeit t = [Formel 10] folgt. Substi-
tuirt man diesen Werth in den Ausdruck für den Raum, so ist der gesuchte Raum
S = [Formel 11] . Wird hier S = 1, so
ist h = [Formel 12] , d. h. der Körper steigt eben so hoch, als wenn er mit der Geschwindig-
keit c senkrecht hinauf geworfen wird.

§. 512.

Man lasse nun einen Körper (Fig. 7) über die schiefe Fläche A B C D E von A aus-
Fig.
7.laufen, so wird er in C eine Geschwindigkeit haben, welche eben so gross ist, als wenn

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[550/0582] Bewegung über schiefe Flächen. Da sich dasselbe von einem jeden andern Punkte, der in der horizontalen Linie B C liegt, beweisen lässt, so folgt, dass die Neigung der schiefen Fläche auf die Geschwin- digkeit des Körpers keinen Einfluss habe. Zieht man daher aus einem Punkte A mehrere schiefe Flächen A B, A C, A E .... und lässt nun von diesem Punkte A Körper über die schiefen Flächen herab laufen, so werden alle diese Körper in denselben Hori- zontallinien, nämlich in M N, oder in O P, oder in F B .... gleiche Geschwin- digkeiten haben, nachdem die Körper daselbst gleiche Fallhöhen erlangen. Dieses wird aber nicht nur bei der Bewegung über gerade Linien, sondern auch bei jener über eine krumme A F statt finden, indem man eine krumme Linie als aus unendlich vielen geraden Linien so zusammengesetzt denken kann, dass diese Linien keinen messbaren Win- kel mit einander bilden. Fig. 6. Tab. 28. §. 511. Wenn ein Körper über eine schiefe Fläche hinab gestossen wird, die Bewegung desselben ohne Rücksicht auf Reibung zu berechnen. Es sey die Geschwindigkeit, welche der Körper durch den Stoss erhält = c, so würde sich derselbe mit gleicher Geschwindigkeit fortwährend bewegen, wenn nicht die Schwerkraft auf ihn wirken möchte; die Wirkung derselben beträgt nach §. 508 in der Geschwindigkeit die Grösse [FORMEL], 2 g . t, folglich wird nach Verlauf der Zeit t die Ge- schwindigkeit des Körpers, der über eine schiefe Fläche hinabgestossen wird v = [FORMEL] und auf gleiche Art der Raum S = [FORMEL] seyn. Auf gleiche Weise wird die Bewegung eines Körpers, welcher über eine schie- fe Fläche hinauf gestossen wird, berechnet. Es sey die Geschwindigkeit des Stosses abermal = c, so ist offenbar, dass selbe durch die Schwere um die Grösse [FORMEL] vermindert wird, sonach wird nach Verlauf der Zeit t die Geschwindigkeit des Körpers v = [FORMEL] seyn. Die anfängliche Geschwindigkeit des Körpers ist c, die Endgeschwindigkeit (nämlich nach t Sekunden) ist c — [FORMEL], folglich die mittlere Geschwindigkeit = c — [FORMEL]. Hieraus findet man den Raum, wel- chen der Körper in t Sekunden zurücklegt S = [FORMEL]. Der Körper geht so weit auf der schiefen Fläche hinauf, bis seine Geschwindig- keit = 0 ist, also bis [FORMEL] = 0, woraus die Zeit t = [FORMEL] folgt. Substi- tuirt man diesen Werth in den Ausdruck für den Raum, so ist der gesuchte Raum S = [FORMEL]. Wird hier S = 1, so ist h = [FORMEL], d. h. der Körper steigt eben so hoch, als wenn er mit der Geschwindig- keit c senkrecht hinauf geworfen wird. §. 512. Man lasse nun einen Körper (Fig. 7) über die schiefe Fläche A B C D E von A aus- laufen, so wird er in C eine Geschwindigkeit haben, welche eben so gross ist, als wenn Fig. 7.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 550. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/582>, abgerufen am 18.11.2024.