Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

Pferdegöpel.

Y' y' = y gelangt und das Gewicht des Seiles, welches von A' a' bis Y' y' vom Spiralkor-
be abgewunden, und in den Schacht getrieben worden, sey = U, so beträgt das statische
Moment des Gegenzuges, welches dem Momente der Kraft zu Hülfe kommt = (T + U) y.
Demnach haben wir die Gleichung N. K. A = (Q + T + S — W) z — (T + U) y (I).

Durch fortgesetzte Umdrehungen wird die Last der vollen Tonne Q + T an den He-
belsarm Y y = Y' y' gelangen, und vom Seile S wird in dieser Stellung nur noch das
Seiltrum U übrig seyn, welches den Raum von Y y bis A a auf dem Spiralkorbe noch eben
so einnehmen wird, als dasselbe von der andern Seite von Y' y' bis A' a' aufgewunden
worden. Demnach beträgt in dieser Stellung das statische Moment von Seite der vollen
Tonne (Q + T + U) y, und weil zu gleicher Zeit das Gegenseil noch bis Z' z' abge-
wunden worden, folglich am Hebelsarme z die Last T + S — W hängt, so ist das stati-
sche Moment des Gegenzuges = (T + S — W) z. Demnach haben wir abermals die
Gleichung N. K. A = (Q + T + U) y — (T + S — W) z (II).

Die Addition der Gleichungen I und II gibt [Formel 1] = m; demnach
ist der mittlere Halbmesser M m = m = [Formel 2] nicht nur der mittlere
für den Anfang und das Ende des Treibens, sondern auch für alle
übrigen gleichen Entfernungen der Seile von der Mitte des Korbes,
und der gesammte Widerstand ist eben so gross, als ob an dem mitt-
lern Radius nur allein die Last Q hinge, so wie es dem Zwecke der Aufga-
be nach §. 224 gemäss ist.

§. 228.

Die wirkliche Grösse der einzelnen Halbmesser kann nur durch höhere Ana-
lysis bestimmt werden ^*). Diese gibt uns für den Fall, wo das Seil eine durch-

*) Die krumme Linie des Profils des Spiralkorbes wird mittelst höherer Analysis auf folgende Art ge-
funden: Zieht man die Gleichungen I und II von einander ab, so ist (Q + 2 T + 2 S — 2 W) z
= (Q + 2 T + 2 U) y folglich y : z = Q + 2 T + 2 S — 2 W : Q + 2 T + 2 U und
[Formel 3] = S — W — U : Q + 2 T + S — W + U. Setzen wir [Formel 4] = p y = q z = v,
so erhalten wir wegen [Formel 5] = m, die Gleichung Q + 2 T + S — W + U = [Formel 6] (S — W — U).
Weil die Gewichte der Ladung Q, der Tonne T und des ganzen Seiles S bei der Bestimmung der
einzelnen Halbmesser des Korbes als beständige Grössen zu betrachten sind, so ist das Differentiale
der letzten Gleichung d. m [Formel 7] + d (W — U) = 0 (III), woraus die Halbmesser
der Spirallinie auf folgende Art bestimmt werden:
Für ein gewöhnliches Bergseil sey das Gewicht einer Lachter = g, so ist das Gewicht der Seil- Fig.
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länge s = g. s. Nachdem aber diese Seillänge auf eine Spirallinie gewunden wird, so sey der unbestimmte
Winkel, den der Radius der Spirallinie beschreibt m Y y = φ, so ist d s = y. d φ. [Formel 8] ,
welches wir sehr nahe = y. d φ setzen können; weil die Zunahme der Radien im Vergleiche mit der Län-
ge des Seiles sehr klein ist. (In dem angeführten Beispiele war a — b = 10 Fuss und die Länge des Sei-
les = 150 Lachter = 900 Fuss, folglich √ (810000 + 100) = 900,₀₆, wo der Unterschied 0,₀₆
gegen 900 Fuss offenbar als unbedeutend weggelassen werden kann.) Dasselbe gilt noch mehr von