Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.
Rad an der Welle. §. 95. Um die weitläufigen Rechnungen, welche in jedem besondern Falle nöthig seyn
[Formel 8]
. Zur Abkürzung wollen wir setzen
[Formel 9] oder [Formel 10] , so erhalten wir u (p -- p.u + 2) (2 p -- 2 p.u + 1) = p (p -- p.u -- 1) (1 -- u2). Wird nun diese Gleichung nach den Potenzen von u geordnet, so ist: [Formel 11] . Um diese Gleichung auf dem kürzesten Wege aufzulösen, ist zu bemerken, dass die Grösse u in jedem Falle ein sehr kleiner Bruch sey, wie es aus der Gleichung [Formel 12] erhellet, weil das Verhält- niss [Formel 13] sehr nahe = 1 seyn muss. Wir können demnach in der gedachten Gleichung die Glieder mit der 2ten und 3ten Potenz weglassen, und erhalten dadurch beinahe [Formel 14] , sonach [Formel 15] . Mit diesem Näherungswerthe von u lässt sich nun nach der, für die Auflösung der höheren Glei- chungen bekannten Approximations-Methode der Werth von u so genau bestimmen, als man es wünscht. Wenn nun auf solche Art der Werth von u gefunden ist, so gibt die Gleichung [Formel 16] das vor- theilhafteste Verhältniss von [Formel 17] , mit welchem sodann auch das Verhältniss der Arbeitszeit [Formel 18] , die An- zahl der Aufzüge n, die Ladung Q und der tägliche Effekt n . Q nach den hiezu angeführten Gleichungen berechnet werden kann. Rad an der Welle. §. 95. Um die weitläufigen Rechnungen, welche in jedem besondern Falle nöthig seyn
[Formel 8]
. Zur Abkürzung wollen wir setzen
[Formel 9] oder [Formel 10] , so erhalten wir u (p — p.u + 2) (2 p — 2 p.u + 1) = p (p — p.u — 1) (1 — u2). Wird nun diese Gleichung nach den Potenzen von u geordnet, so ist: [Formel 11] . Um diese Gleichung auf dem kürzesten Wege aufzulösen, ist zu bemerken, dass die Grösse u in jedem Falle ein sehr kleiner Bruch sey, wie es aus der Gleichung [Formel 12] erhellet, weil das Verhält- niss [Formel 13] sehr nahe = 1 seyn muss. Wir können demnach in der gedachten Gleichung die Glieder mit der 2ten und 3ten Potenz weglassen, und erhalten dadurch beinahe [Formel 14] , sonach [Formel 15] . Mit diesem Näherungswerthe von u lässt sich nun nach der, für die Auflösung der höheren Glei- chungen bekannten Approximations-Methode der Werth von u so genau bestimmen, als man es wünscht. Wenn nun auf solche Art der Werth von u gefunden ist, so gibt die Gleichung [Formel 16] das vor- theilhafteste Verhältniss von [Formel 17] , mit welchem sodann auch das Verhältniss der Arbeitszeit [Formel 18] , die An- zahl der Aufzüge n, die Ladung Q und der tägliche Effekt n . Q nach den hiezu angeführten Gleichungen berechnet werden kann. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <pb facs="#f0140" n="110"/> <fw place="top" type="header"> <hi rendition="#i">Rad an der Welle.</hi> </fw><lb/> <div n="3"> <head>§. 95.</head><lb/> <p>Um die weitläufigen Rechnungen, welche in jedem besondern Falle nöthig seyn<lb/> würden, zu ersparen, haben wir die beiliegende Tabelle berechnen lassen, worin in<lb/> der ersten Columne die Verhältnisse der Ruhezeit nach jedem Aufzuge zur halben<lb/> Zeit eines Aufzuges <formula/> für die öfter vorkommenden Fälle angeführt sind. In<lb/> der 2ten Columne ist das Verhältniss der Geschwindigkeiten <formula/> durch Auf-<lb/> lösung der unten angeführten, mittelst der Differentialrechnung gefundenen Gleichung<lb/><hi rendition="#c"><formula/></hi> berechnet worden. Man hat die Rechnung bis auf 4 Decimalstellen richtig zu stellen<lb/> gesucht, um bei dem Gebrauche dieser Tabelle noch von der dritten Decimalstelle,<lb/> oder in gewöhnlichen Fällen noch von den Pfunden versichert zu seyn. Die 3te Co-<lb/> lumne oder das Verhältniss der Arbeitsstunden <formula/> ist nach der Gleichung<lb/><formula/> berechnet worden. Für die künftigen Columnen sind die<lb/> Berechnungsformeln in der obern Reihe angeführt, und in denselben nur die in der<lb/> 2ten und 3ten Columne gefundenen Werthe für <formula/> und <formula/> substituirt worden.</p><lb/> <note xml:id="note-0140" prev="#note-0139" place="foot" n="*)"><formula/>. Zur Abkürzung wollen wir setzen<lb/><formula/> oder <formula/>, so erhalten wir<lb/> u (p — p.u + 2) (2 p — 2 p.u + 1) = p (p — p.u — 1) (1 — u<hi rendition="#sup">2</hi>). Wird nun diese Gleichung nach<lb/> den Potenzen von u geordnet, so ist: <formula/>.<lb/> Um diese Gleichung auf dem kürzesten Wege aufzulösen, ist zu bemerken, dass die Grösse u in jedem<lb/> Falle ein sehr kleiner Bruch sey, wie es aus der Gleichung <formula/> erhellet, weil das Verhält-<lb/> niss <formula/> sehr nahe = 1 seyn muss. Wir können demnach in der gedachten Gleichung die Glieder mit<lb/> der 2ten und 3ten Potenz weglassen, und erhalten dadurch beinahe<lb/><formula/>, sonach <formula/>.<lb/> Mit diesem Näherungswerthe von u lässt sich nun nach der, für die Auflösung der höheren Glei-<lb/> chungen bekannten Approximations-Methode der Werth von u so genau bestimmen, als man es wünscht.<lb/> Wenn nun auf solche Art der Werth von u gefunden ist, so gibt die <choice><sic>Gleichnng</sic><corr>Gleichung</corr></choice> <formula/> das vor-<lb/> theilhafteste Verhältniss von <formula/>, mit welchem sodann auch das Verhältniss der Arbeitszeit <formula/>, die An-<lb/> zahl der Aufzüge n, die Ladung Q und der tägliche Effekt n . Q nach den hiezu angeführten<lb/> Gleichungen berechnet werden kann.</note><lb/> </div> </div> </div> </body> </text> </TEI> [110/0140]
Rad an der Welle.
§. 95.
Um die weitläufigen Rechnungen, welche in jedem besondern Falle nöthig seyn
würden, zu ersparen, haben wir die beiliegende Tabelle berechnen lassen, worin in
der ersten Columne die Verhältnisse der Ruhezeit nach jedem Aufzuge zur halben
Zeit eines Aufzuges [FORMEL] für die öfter vorkommenden Fälle angeführt sind. In
der 2ten Columne ist das Verhältniss der Geschwindigkeiten [FORMEL] durch Auf-
lösung der unten angeführten, mittelst der Differentialrechnung gefundenen Gleichung
[FORMEL] berechnet worden. Man hat die Rechnung bis auf 4 Decimalstellen richtig zu stellen
gesucht, um bei dem Gebrauche dieser Tabelle noch von der dritten Decimalstelle,
oder in gewöhnlichen Fällen noch von den Pfunden versichert zu seyn. Die 3te Co-
lumne oder das Verhältniss der Arbeitsstunden [FORMEL] ist nach der Gleichung
[FORMEL] berechnet worden. Für die künftigen Columnen sind die
Berechnungsformeln in der obern Reihe angeführt, und in denselben nur die in der
2ten und 3ten Columne gefundenen Werthe für [FORMEL] und [FORMEL] substituirt worden.
*)
*) [FORMEL]. Zur Abkürzung wollen wir setzen
[FORMEL] oder [FORMEL], so erhalten wir
u (p — p.u + 2) (2 p — 2 p.u + 1) = p (p — p.u — 1) (1 — u2). Wird nun diese Gleichung nach
den Potenzen von u geordnet, so ist: [FORMEL].
Um diese Gleichung auf dem kürzesten Wege aufzulösen, ist zu bemerken, dass die Grösse u in jedem
Falle ein sehr kleiner Bruch sey, wie es aus der Gleichung [FORMEL] erhellet, weil das Verhält-
niss [FORMEL] sehr nahe = 1 seyn muss. Wir können demnach in der gedachten Gleichung die Glieder mit
der 2ten und 3ten Potenz weglassen, und erhalten dadurch beinahe
[FORMEL], sonach [FORMEL].
Mit diesem Näherungswerthe von u lässt sich nun nach der, für die Auflösung der höheren Glei-
chungen bekannten Approximations-Methode der Werth von u so genau bestimmen, als man es wünscht.
Wenn nun auf solche Art der Werth von u gefunden ist, so gibt die Gleichung [FORMEL] das vor-
theilhafteste Verhältniss von [FORMEL], mit welchem sodann auch das Verhältniss der Arbeitszeit [FORMEL], die An-
zahl der Aufzüge n, die Ladung Q und der tägliche Effekt n . Q nach den hiezu angeführten
Gleichungen berechnet werden kann.
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| Zitationshilfe: | Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 110. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/140>, abgerufen am 18.11.2024. |
