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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Schwerpunkt.
(n) des Dreiecks M Q P ist von M N um M t = 2/3 1 und von N O um
n u = b + 1/3 P Q = b + 1/3 (B -- b) entfernt. Es wird also nach §. 69.
r m x Fläche M N O Q + M t x Fläche M P Q = o q x Fläche M N O Q P seyn, und
wenn hier alle Werthe substituirt werden, ist: [Formel 1]
woraus [Formel 2] folgt.

Auf gleiche Weise ist nach demselben §. 69.
m s x Fläche M N O Q + n u x Fläche M P Q = o p x Fläche M N O Q P, oder
wenn wieder die Werthe substituirt werden,
[Formel 3] ,
woraus [Formel 4] folgt.

Setzt man in diesem Ausdrucke b = o, so verwandelt sich das Trapez in ein Drei-
eck, dessen Spitze in N sich befindet, und wir erhalten x = 2/3 1 und [Formel 5] wie nach
§. 74 bekannt ist.

Ist B = b, so verwandelt sich das Trapez in ein Rechteck und wir erhalten
x = 1/2 und [Formel 6] d. i. der Schwerpunkt liegt in der Mitte des Rechteckes, wie es eben-
falls bekannt ist.

§. 76.

Hat man nun den Schwerpunkt irgend einer von mehreren geraden
Linien eingeschlossenen Figur zu finden, so zerlege man diese Figur durch
Diagonallinien in Dreiecke und suche von diesen einzelnen Dreiecken nach dem §. 74 be-
Fig.
32.
Tab.
1.schriebenen Verfahren die Schwerpunkte. Sind z. B. S', S'', S''' die drei Schwerpunkte
der Dreiecke A B C, A C D, A D E, in welche man das Fünfeck A B C D E zerlegt hat,
und man verlangt nun die Entfernung des gemeinschaftlichen Schwerpunktes S von einer
angenommenen Linie F G, so fällt man von den Schwerpunkten der drei Dreiecke
S', S'', S''' und von dem gemeinschaftlichen Schwerpunkte S Perpendikeln auf diese Li-
nie F G. Es sey nun Ss = y, S' s' = y', S'' s'' = y'', S''' s''' = y'''; dann
F s = x, F s' = x', F s'' = x'', F s''' = x''' und die Flächeninhalte der Dreiecke
A B C = F', A C D = F'', A D E = F''', so findet man die Abstände F s und S s oder die
Coordinaten x und y für den Schwerpunkt des ganzen Fünfecks nach §. 69.
[Formel 7] .
Trägt man nun F s = x auf die Abscissenlinie auf, errichtet in s eine Lothrechte, und
trägt auf derselben noch s S = y auf, so hat man den Schwerpunkt des Fünfecks. Auf

Schwerpunkt.
(n) des Dreiecks M Q P ist von M N um M t = ⅔ 1 und von N O um
n u = b + ⅓ P Q = b + ⅓ (B — b) entfernt. Es wird also nach §. 69.
r m × Fläche M N O Q + M t × Fläche M P Q = o q × Fläche M N O Q P seyn, und
wenn hier alle Werthe substituirt werden, ist: [Formel 1]
woraus [Formel 2] folgt.

Auf gleiche Weise ist nach demselben §. 69.
m s × Fläche M N O Q + n u × Fläche M P Q = o p × Fläche M N O Q P, oder
wenn wieder die Werthe substituirt werden,
[Formel 3] ,
woraus [Formel 4] folgt.

Setzt man in diesem Ausdrucke b = o, so verwandelt sich das Trapez in ein Drei-
eck, dessen Spitze in N sich befindet, und wir erhalten x = ⅔ 1 und [Formel 5] wie nach
§. 74 bekannt ist.

Ist B = b, so verwandelt sich das Trapez in ein Rechteck und wir erhalten
x = ½ und [Formel 6] d. i. der Schwerpunkt liegt in der Mitte des Rechteckes, wie es eben-
falls bekannt ist.

§. 76.

Hat man nun den Schwerpunkt irgend einer von mehreren geraden
Linien eingeschlossenen Figur zu finden, so zerlege man diese Figur durch
Diagonallinien in Dreiecke und suche von diesen einzelnen Dreiecken nach dem §. 74 be-
Fig.
32.
Tab.
1.schriebenen Verfahren die Schwerpunkte. Sind z. B. S', S'', S''' die drei Schwerpunkte
der Dreiecke A B C, A C D, A D E, in welche man das Fünfeck A B C D E zerlegt hat,
und man verlangt nun die Entfernung des gemeinschaftlichen Schwerpunktes S von einer
angenommenen Linie F G, so fällt man von den Schwerpunkten der drei Dreiecke
S', S'', S''' und von dem gemeinschaftlichen Schwerpunkte S Perpendikeln auf diese Li-
nie F G. Es sey nun Ss = y, S' s' = y', S'' s'' = y'', S''' s''' = y'''; dann
F s = x, F s' = x', F s'' = x'', F s''' = x''' und die Flächeninhalte der Dreiecke
A B C = F', A C D = F'', A D E = F''', so findet man die Abstände F s und S s oder die
Coordinaten x und y für den Schwerpunkt des ganzen Fünfecks nach §. 69.
[Formel 7] .
Trägt man nun F s = x auf die Abscissenlinie auf, errichtet in s eine Lothrechte, und
trägt auf derselben noch s S = y auf, so hat man den Schwerpunkt des Fünfecks. Auf

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[90/0120] Schwerpunkt. (n) des Dreiecks M Q P ist von M N um M t = ⅔ 1 und von N O um n u = b + ⅓ P Q = b + ⅓ (B — b) entfernt. Es wird also nach §. 69. r m × Fläche M N O Q + M t × Fläche M P Q = o q × Fläche M N O Q P seyn, und wenn hier alle Werthe substituirt werden, ist: [FORMEL] woraus [FORMEL] folgt. Auf gleiche Weise ist nach demselben §. 69. m s × Fläche M N O Q + n u × Fläche M P Q = o p × Fläche M N O Q P, oder wenn wieder die Werthe substituirt werden, [FORMEL], woraus [FORMEL] folgt. Setzt man in diesem Ausdrucke b = o, so verwandelt sich das Trapez in ein Drei- eck, dessen Spitze in N sich befindet, und wir erhalten x = ⅔ 1 und [FORMEL] wie nach §. 74 bekannt ist. Ist B = b, so verwandelt sich das Trapez in ein Rechteck und wir erhalten x = ½ und [FORMEL] d. i. der Schwerpunkt liegt in der Mitte des Rechteckes, wie es eben- falls bekannt ist. §. 76. Hat man nun den Schwerpunkt irgend einer von mehreren geraden Linien eingeschlossenen Figur zu finden, so zerlege man diese Figur durch Diagonallinien in Dreiecke und suche von diesen einzelnen Dreiecken nach dem §. 74 be- schriebenen Verfahren die Schwerpunkte. Sind z. B. S', S'', S''' die drei Schwerpunkte der Dreiecke A B C, A C D, A D E, in welche man das Fünfeck A B C D E zerlegt hat, und man verlangt nun die Entfernung des gemeinschaftlichen Schwerpunktes S von einer angenommenen Linie F G, so fällt man von den Schwerpunkten der drei Dreiecke S', S'', S''' und von dem gemeinschaftlichen Schwerpunkte S Perpendikeln auf diese Li- nie F G. Es sey nun Ss = y, S' s' = y', S'' s'' = y'', S''' s''' = y'''; dann F s = x, F s' = x', F s'' = x'', F s''' = x''' und die Flächeninhalte der Dreiecke A B C = F', A C D = F'', A D E = F''', so findet man die Abstände F s und S s oder die Coordinaten x und y für den Schwerpunkt des ganzen Fünfecks nach §. 69. [FORMEL]. Trägt man nun F s = x auf die Abscissenlinie auf, errichtet in s eine Lothrechte, und trägt auf derselben noch s S = y auf, so hat man den Schwerpunkt des Fünfecks. Auf Fig. 32. Tab. 1.

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 90. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/120>, abgerufen am 18.11.2024.