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Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831.

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Hebel.

Zur umständlichen Erklärung dieses Verfahrens ist zu bemerken, dass die Lage der
Punkte A, B, C .... in der gemeinschaftlichen Fläche vorläufig gegeben, folglich die Ent-
fernungen dieser Punkte von den zwei Richtungslinien O b und O e bekannt seyn müssen.
Es kann demnach keiner weitern Schwierigkeit unterliegen, die Produkte dieser Entfer-
nungen in die Gewichte derselben Körper durch die Summe derselben Gewichte zu divi-
diren, und auf solche Art die Entfernungen des Schwerpunktes von den beiden Rich-
tungslinien O b und O e zu finden.

§. 70.
Fig.
27.
Tab.
1.

Wenn mehrere Hebel zu dem Zwecke mit einander in Verbindung gesetzt werden, um
Lasten an ihren beiderseitigen Endpunkten bequemer als durch übermässig lange Hebel
in das nöthige Gleichgewicht zu bringen, so nennt man diese Vorrichtung einen zusam-
mengesetzten Hebel. Hiebei finden dieselben Gesetze statt, die wir für den einfachen
Hebel aufgestellt haben. Ist z. B. Fig. 27. eine solche, aus mehrern einfachen Hebeln zu-
sammengesetzte Vorrichtung, so werden sich die Bedingnisse für das Gleichgewicht der
Kraft P mit der Last Q durch folgende Gleichungen ergeben.

Man kann sich zuerst in b an dem Hebel a c b eine Kraft x wirkend denken, die
mit der Last Q um den Unterstützungspunkt c im Gleichgewichte ist; in diesem Falle
ist Q . a c = x. b c (I). Wir nehmen ferner im Punkte f noch eine Kraft y an, welche
der Kraft x um den Unterstützungspunkt e das Gleichgewicht hält, so haben wir abermals
x. d e = y. e f. (II.). Endlich wird das Gleichgewicht der Kraft P mit der Last y durch
die Gleichung y. g m = P . m n (III.) bestimmt. Werden nun die Gleichungen I, II, III,
zusammen multiplicirt, so erhält man:
Q . a c . d e . g m = P . b c . e f . m n . (IV.)
d. h. es ist an einem zusammengesetzten Hebel die Kraft multiplicirt
mit den Hebelsarmen von Seite der Kraft gleich der Last multipli-
cirt mit den Hebelsarmen von Seite der Last.

Wird die Gleichung IV in eine Proportion aufgelöst, so ist
Q:P = b c . e f . m n:a c . d e . g m

§. 71.
Fig.
28.

Wir haben bisher die Kräfte am Hebel im Zustande der Ruhe betrachtet, und wollen
nun annehmen, der einfache Hebel Fig. 28. befinde sich zu irgend einem Zwecke in Be-
wegung. Da die Stange E C D unbiegsam ist, so müssen auch die beiderseitigen
Drehungswinkel einander gleich, oder E C e = D C d seyn. Da nun wegen der Gleich-
heit der Arme D C = d C, E C = e C und der eingeschlossenen Winkel auch die Sek-
toren D C d und E C e einander ähnlich seyn müssen, so folgt hieraus die Proportion:
E e:D d = E C:D C, d. h. die Räume, welche die 2 Körper P und Q in
gleicher Zeit zurücklegen, sind ihren Hebelsarmen proportional.
Nach dem ersten Satze vom Hebel §. 55. verhalten sich aber die Hebelsarme
E C:D C = P:Q, demnach ist auch P:Q = E e:D d; oder die an den beiden
Endpunkten des Hebels angebrachten Kräfte stehen im umgekehr-

Hebel.

Zur umständlichen Erklärung dieses Verfahrens ist zu bemerken, dass die Lage der
Punkte A, B, C .... in der gemeinschaftlichen Fläche vorläufig gegeben, folglich die Ent-
fernungen dieser Punkte von den zwei Richtungslinien O β und O e bekannt seyn müssen.
Es kann demnach keiner weitern Schwierigkeit unterliegen, die Produkte dieser Entfer-
nungen in die Gewichte derselben Körper durch die Summe derselben Gewichte zu divi-
diren, und auf solche Art die Entfernungen des Schwerpunktes von den beiden Rich-
tungslinien O β und O e zu finden.

§. 70.
Fig.
27.
Tab.
1.

Wenn mehrere Hebel zu dem Zwecke mit einander in Verbindung gesetzt werden, um
Lasten an ihren beiderseitigen Endpunkten bequemer als durch übermässig lange Hebel
in das nöthige Gleichgewicht zu bringen, so nennt man diese Vorrichtung einen zusam-
mengesetzten Hebel. Hiebei finden dieselben Gesetze statt, die wir für den einfachen
Hebel aufgestellt haben. Ist z. B. Fig. 27. eine solche, aus mehrern einfachen Hebeln zu-
sammengesetzte Vorrichtung, so werden sich die Bedingnisse für das Gleichgewicht der
Kraft P mit der Last Q durch folgende Gleichungen ergeben.

Man kann sich zuerst in b an dem Hebel a c b eine Kraft x wirkend denken, die
mit der Last Q um den Unterstützungspunkt c im Gleichgewichte ist; in diesem Falle
ist Q . a c = x. b c (I). Wir nehmen ferner im Punkte f noch eine Kraft y an, welche
der Kraft x um den Unterstützungspunkt e das Gleichgewicht hält, so haben wir abermals
x. d e = y. e f. (II.). Endlich wird das Gleichgewicht der Kraft P mit der Last y durch
die Gleichung y. g m = P . m n (III.) bestimmt. Werden nun die Gleichungen I, II, III,
zusammen multiplicirt, so erhält man:
Q . a c . d e . g m = P . b c . e f . m n . (IV.)
d. h. es ist an einem zusammengesetzten Hebel die Kraft multiplicirt
mit den Hebelsarmen von Seite der Kraft gleich der Last multipli-
cirt mit den Hebelsarmen von Seite der Last.

Wird die Gleichung IV in eine Proportion aufgelöst, so ist
Q:P = b c . e f . m n:a c . d e . g m

§. 71.
Fig.
28.

Wir haben bisher die Kräfte am Hebel im Zustande der Ruhe betrachtet, und wollen
nun annehmen, der einfache Hebel Fig. 28. befinde sich zu irgend einem Zwecke in Be-
wegung. Da die Stange E C D unbiegsam ist, so müssen auch die beiderseitigen
Drehungswinkel einander gleich, oder E C e = D C d seyn. Da nun wegen der Gleich-
heit der Arme D C = d C, E C = e C und der eingeschlossenen Winkel auch die Sek-
toren D C d und E C e einander ähnlich seyn müssen, so folgt hieraus die Proportion:
E e:D d = E C:D C, d. h. die Räume, welche die 2 Körper P und Q in
gleicher Zeit zurücklegen, sind ihren Hebelsarmen proportional.
Nach dem ersten Satze vom Hebel §. 55. verhalten sich aber die Hebelsarme
E C:D C = P:Q, demnach ist auch P:Q = E e:D d; oder die an den beiden
Endpunkten des Hebels angebrachten Kräfte stehen im umgekehr-

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[86/0116] Hebel. Zur umständlichen Erklärung dieses Verfahrens ist zu bemerken, dass die Lage der Punkte A, B, C .... in der gemeinschaftlichen Fläche vorläufig gegeben, folglich die Ent- fernungen dieser Punkte von den zwei Richtungslinien O β und O e bekannt seyn müssen. Es kann demnach keiner weitern Schwierigkeit unterliegen, die Produkte dieser Entfer- nungen in die Gewichte derselben Körper durch die Summe derselben Gewichte zu divi- diren, und auf solche Art die Entfernungen des Schwerpunktes von den beiden Rich- tungslinien O β und O e zu finden. §. 70. Wenn mehrere Hebel zu dem Zwecke mit einander in Verbindung gesetzt werden, um Lasten an ihren beiderseitigen Endpunkten bequemer als durch übermässig lange Hebel in das nöthige Gleichgewicht zu bringen, so nennt man diese Vorrichtung einen zusam- mengesetzten Hebel. Hiebei finden dieselben Gesetze statt, die wir für den einfachen Hebel aufgestellt haben. Ist z. B. Fig. 27. eine solche, aus mehrern einfachen Hebeln zu- sammengesetzte Vorrichtung, so werden sich die Bedingnisse für das Gleichgewicht der Kraft P mit der Last Q durch folgende Gleichungen ergeben. Man kann sich zuerst in b an dem Hebel a c b eine Kraft x wirkend denken, die mit der Last Q um den Unterstützungspunkt c im Gleichgewichte ist; in diesem Falle ist Q . a c = x. b c (I). Wir nehmen ferner im Punkte f noch eine Kraft y an, welche der Kraft x um den Unterstützungspunkt e das Gleichgewicht hält, so haben wir abermals x. d e = y. e f. (II.). Endlich wird das Gleichgewicht der Kraft P mit der Last y durch die Gleichung y. g m = P . m n (III.) bestimmt. Werden nun die Gleichungen I, II, III, zusammen multiplicirt, so erhält man: Q . a c . d e . g m = P . b c . e f . m n . (IV.) d. h. es ist an einem zusammengesetzten Hebel die Kraft multiplicirt mit den Hebelsarmen von Seite der Kraft gleich der Last multipli- cirt mit den Hebelsarmen von Seite der Last. Wird die Gleichung IV in eine Proportion aufgelöst, so ist Q:P = b c . e f . m n:a c . d e . g m §. 71. Wir haben bisher die Kräfte am Hebel im Zustande der Ruhe betrachtet, und wollen nun annehmen, der einfache Hebel Fig. 28. befinde sich zu irgend einem Zwecke in Be- wegung. Da die Stange E C D unbiegsam ist, so müssen auch die beiderseitigen Drehungswinkel einander gleich, oder E C e = D C d seyn. Da nun wegen der Gleich- heit der Arme D C = d C, E C = e C und der eingeschlossenen Winkel auch die Sek- toren D C d und E C e einander ähnlich seyn müssen, so folgt hieraus die Proportion: E e:D d = E C:D C, d. h. die Räume, welche die 2 Körper P und Q in gleicher Zeit zurücklegen, sind ihren Hebelsarmen proportional. Nach dem ersten Satze vom Hebel §. 55. verhalten sich aber die Hebelsarme E C:D C = P:Q, demnach ist auch P:Q = E e:D d; oder die an den beiden Endpunkten des Hebels angebrachten Kräfte stehen im umgekehr-

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Zitationshilfe: Gerstner, Franz Joseph von: Handbuch der Mechanik. Bd. 1: Mechanik fester Körper. Prag, 1831, S. 86. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/gerstner_mechanik01_1831/116>, abgerufen am 18.11.2024.